已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 $\sqrt{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）设不过点 $T(-2,1)$ 的直线 $/$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，直线 $T A, T B$ 分别与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，且 $|T M|=|T N|$ ．求证直线 $I$ 的斜率是定值，并求出该定值．