已知 $O$ 为坐标原点，点 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上，椭圆 $C$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，且 $\left|F_1 F_2\right|=2 \sqrt{3}$.
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）若点 $P_0, P_1, P_2$ 在椭圆 $C$ 上，原点 $O$ 为 $\triangle P_0 P_1 P_2$ 的重心，证明：$\triangle P_0 P_1 P_2$ 的面积为定值．