解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若 $\log _3(9 x), ~ \log _9(27 x), ~ \log _{27}(3 x)$ 成等差数列，则正数 $x$ 的值为
设集合 $A=\{1,2,3, \cdots, 100\}, ~ B=\left\{a^2+2^a \mid a \in A\right\}$ ，则 $A \cup B$ 的元素个数为
设点 $P$ 在椭圆 $\Gamma_1: \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{25}=1$ 上，$F_1, F_2$ 为 $\Gamma_1$ 的两个焦点，线段 $F_1 P$ 交椭圆 $\Gamma_2$ ： $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{14}=1$ 于点 $Q$ ．若 $\triangle F_2 P Q$ 的周长为 8 ，则线段 $F_1 Q$ 的长度为
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}, g(x)=(x-1) f(x), h(x)=f(x)+x$ ．若 $g(x)$ 为奇函数，$h(x)$ 为偶函数，则 $f(x)$ 的最大值为
若正整数 $k$ 满足 $\left(\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 25^{\circ}}+\frac{\sin 25^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} \cdot \mathrm{i}\right)^k \in \mathbf{R}$（i 为虚数单位），则 $k$ 的最小值为
设 $\Gamma$ 为任意四棱柱，在 $\Gamma$ 的 12 条棱中随机选取两条不同的棱 $l_1, l_2$ ，将事件 ＂$l_1$ 所在直线与 $l_2$ 所在直线平行＂发生的概率记为 $P(\Gamma)$ ，则 $P(\Gamma)$ 的所有可能值为 $\qquad$ ．
平面中的 3 个单位向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b}=[\vec{a} \cdot \vec{c}]+[\vec{b} \cdot \vec{c}]$（其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数），则 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ 的取值范围是
将 $1,2,3, \cdots, 9$ 排列为 $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ ，使得 3 个三位数 $\overline{a b c}, \overline{d e f}, \overline{g h i}$ 之和等于 2025 ，则不同的排列方法数为 $\qquad$ ．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点集
$$
\Gamma=\left\{(x, y)\left|y^2=2 x+2\right| x \mid\right\}
$$
若 $\Gamma$ 中的 3 个不同的点 $M, P, Q$ 满足：$M$ 为 $P Q$ 的中点，且 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=-2$ ，求点 $M$的坐标。
设正四面体 $A B C D$ 各棱长均为 $2, P, Q$ 分别是棱 $A B, A C$ 上的动点（允许位于棱的端点），$A P+A Q=2, M$ 为棱 $A D$ 的中点．在 $\triangle M P Q$ 中，$M H$ 为 $P Q$ 边上的高．求 $M H$ 长度的最小值．
设 $\alpha$ 为实数，$m, n$ 为正整数，且 $\sin m \alpha \cdot \sin n \alpha \neq 0$ ．证明：$\frac{1}{|\sin m \alpha|}+\frac{1}{|\sin n \alpha|}>\frac{1}{m \cdot|\sin m \alpha \cdot \sin n \alpha|+|\sin m n \alpha|}$ ．