试证明下列命题：
（1）设 $a_1=1, a_{n+1}=a_n+1 / \sum_{k=1}^n a_k$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n / \sqrt{2 \cdot \ln n}=1$ 。
（2）对给定的 $y$ 值，方程 $x-\alpha \cdot \sin x=y \quad(0 < \alpha < 1)$ 有唯一解。
试证明下列命题：
（1）若 $\left\{a_n\right\}$ 是有界数列，则存在正整数子列 $\left\{n_k\right\}$ ，使得下列极限存在：
$$
\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_k}=l_1, \quad \lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_k-1}=l
$$
（2）若 $\left\{a_n\right\}$ 的任一子列 $\left\{a_{n_k}\right\}$ 均含有以 $a$ 为极限的收敛子列，则 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列。
（3）设 $\left\{a_n\right\}$ 是有界列。若其任一收敛子列都有相同的极限值 $a$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列，且极限为 $a$ ．
设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n-a_{n-2} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，试证明 $a_n / n \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ．
试求下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的上、下极限：
（1）$a_n=\sqrt[n]{1+2^{n(-1)^n}}$ 。
（2）$a_n=1+\frac{n \cdot \cos (n \pi / 2)}{n+1}$ ．
（3）$a_n=\frac{n}{3}-\left[\frac{n}{3}\right]$ ．
（4）$a_{n+1}= \begin{cases}a_n / 2, & n \text { 是偶数，} \\ \left(1+a_n\right) / 2, & n \text { 是奇数．}\end{cases}$
$\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \cos n=1, \lim _{n \rightarrow \infty} n=-1$ ．
试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性：
（1）$\left\{a_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n-2 a_{n+1}\right)=0$ 。
（2）$a_n=n b_n$ ，其中 $b_n$ 满足：$\left|n b_n\right| \leqslant M(n \in N )$ ，且存在 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(b_n+b_{2 n}\right)=l$ 。
试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性：
（1）$a_{n+1}=\sqrt[3]{a_n+6}\left(a_1>-6\right)$ 。
（2）$a_{n+1}=A \sqrt{a_n+B}\left(A, B>0, a_1>0\right)$ ．
设 $f(x)$ 定义在 $(-\infty, \infty)$ 上，且有
$$
f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right), \quad x_1, x_2 \in(-\infty, \infty) .
$$
若 $f(x)$ 在某点 $x_0$ 的邻域 $U_\delta\left(x_0\right) \triangleq\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 上有界，则 $f(x)$ 在任一点 $x \in$ $(-\infty, \infty)$ 的邻域 $U_\delta(x)$ 上有界。
试求下列函数极限：
（1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (1+x) \tan (1-x)-\tan ^2 1}{\tan ^2 x}$ ．
（2） $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (2+\sqrt{x})}{\ln (6+\sqrt[6]{x})}$ ．
（3） $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \sqrt{x^2+1}-\sin \sqrt{x^2-1}\right)$ ．
试证明下列命题：
（1）不存在极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \sin (1 / x)$ ．
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)=0$ ．
试证明极限等式 $I=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{ e ^x+ e ^{2 x}+\cdots+ e ^{n x}}{n}\right)^{1 / x}= e ^{\frac{n+1}{2}}$ ．
试求下列曲线的渐近线：
（1）$(x-a) y^2=x^2(x-b)(a>0, b>0, a \neq b)$ 。
（2）$r=a \theta /(\theta-1)(a>0)$ 。