单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $B$ 为 $n \times s$ 矩阵， $A B x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解的充分条件是
$\text{A.}$ $r( A )=m$ ．
$\text{B.}$ $r( A )=n$ ．
$\text{C.}$ $r( B )=n$ ．
$\text{D.}$ $r( B )=s$ ．
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2-4 x_1 x_2+4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 的规范形是
$\text{A.}$ $f=z_1^2+z_2^2+z_3^2$ ．
$\text{B.}$ $f=z_1^2+z_2^2-z_3^2$ ．
$\text{C.}$ $f=z_1^2-z_2^2$ ．
$\text{D.}$ $f=z_1^2$ ．
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
实对称矩阵 $A$ 和 $B =\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ 合同，则二次型 $x ^{ T } A x$ 的规范形为
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 的矩阵 $A$ 满足 $| A -2 E |=0$ ，且 $\xi _1=(1,2,1)^{ T }$ ， $\xi _2=(1,-1,1)^{ T }$ 是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的一个基础解系．
（I）用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形；
（II）求出该二次型．
三阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $2,2,1$ ，对应特征值 $\lambda=2$ 的两个特征向量为 $\alpha _1=$ $(1,1,0)^{ T }, \alpha _2=(1,1,1)^{ T }$ ．
（I）证明 $\alpha _3=(0,0,1)^{ T }$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda=2$ 的特征向量；
（II）求正交变换 $x = P y$ ，化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 为标准形．
已知方程 $x^2+a y^2+z^2+2 b x y+2 x z+2 y z=4$ 可经正交线性变换 $(x, y, z)^{ T }=$ $Q\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)^{ T }$ 化为方程 $y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ ，求 $a, b$ 的值和正交矩阵 $Q$ ．