如图 1，在 $Rt \triangle A B C$ 中，$\angle B=90^{\circ}, A B=4, B C=2$ ，点 $D, E$ 分别是边 $B C, A C$ 的中点，连接 $D E$ ．将 $\triangle C D E$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转，记旋转角为 $\alpha$ ．
（1）问题发现
① 当 $\alpha=0^{\circ}$ 时，$\frac{A E}{B D}=$ $\qquad$ ；
② 当 $\alpha=180^{\circ}$ 时，$\frac{A E}{B D}=$ $\qquad$ ；
（2）拓展探究
试判断当 $0^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}$ 时，$\frac{A E}{B D}$ 的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；
（3）问题解决
当 $\triangle C D E$ 绕点 $C$ 逆时针旋转至 $A, B, E$ 三点在同一条直线上时，求线段 $B D$ 的长．

如图 1，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B A C=90^{\circ}, A B=6, A C=8$ ，点 $D, E$ 分别是 $A B, B C$ 的中点．把 $\triangle B D E$ 绕点 $B$ 旋转一定角度，连结 $A D, A E, C D, C E$ ．
（1）如图 2，当线段 $B D$ 在 $\triangle A B C$ 内部时，求证：$\triangle B A D \backsim \triangle B C E$ ．
（2）当点 $D$ 落在直线 $A E$ 上时，请画出图形，并求 $C E$ 的长．
（3）当 $\triangle A B E$ 面积最大时，请画出图形，并求出此时 $\triangle A D E$ 的面积．

如图 1，在等腰直角三角形 $A D C$ 中，$\angle A D C=90^{\circ}, A D=4$ ．点 $E$ 是 $A D$ 的中点，以 $D E$ 为边作正方形 $D E F G$ ，连接 $A G, C E$ ．将正方形 $D E F G$ 绕点 $D$ 顺时针旋转，旋转角为 $\alpha\left(0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}\right)$ ．
（1）如图 2，在旋转过程中，
① 判断 $\triangle A G D$ 与 $\triangle C E D$ 是否全等，并说明理由；
② 当 $C E=C D$ 时，$A G$ 与 $E F$ 交于点 $H$ ，求 $G H$ 的长．
（2）如图 3，延长 $C E$ 交直线 $A G$ 于点 $P$ ．求证：$A G \perp C P$ ；

如图，将 $\triangle A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $\alpha$ 后，$\triangle A B C$ 与 $\triangle A D E$ 构成位似图形，我们称 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A D E$ 互为＂旋转位似图形＂．
（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 $\qquad$ （填＂是＂或＂不是＂）＂旋转位似图形＂；如图 1，$\triangle A B C$ 与 $\triangle A D E$ 互为＂旋转位似图形＂，
① 若 $\alpha=26^{\circ}, \angle B=100^{\circ}, \angle E=29^{\circ}$ ，则 $\angle B A E=$ $\qquad$ ；
② 若 $A D=6, D E=8, A B=4$ ，则 $B C=$ $\qquad$ ；
（2）知识运用：
如图 2，在四边形 $A B C D$ 中，$\angle A D C=90^{\circ}, A E \perp B D$ 于 $E, \angle D A C=\angle D B C$ ，求证：$\triangle A C D$ 和 $\triangle A B E$ 互为＂旋转位似图形＂；
（3）拓展提高：
如图 3，$\triangle A B C$ 为等腰直角三角形，点 $G$ 为 $A C$ 中点，点 $F$ 是 $A B$ 上一点，$D$ 是 $G F$ 延长线上一点，点 $E$ 在线段 $G F$上，且 $\triangle A B D$ 与 $\triangle A G E$ 互为＂旋转位似图形＂，若 $A C=6, A D=2 \sqrt{2}$ ，求出 $D E$ 和 $B D$ 的值．

如图，在 $\triangle A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别是边 $B C 、 A C$ 上的点，且 $\angle A D E=\angle B$ ．
（1）如图 1，若 $\angle B=\angle C$ ，求证：$A B \cdot C E=B D \cdot C D$ ；
（2）若 $A B=8, B C=10, \angle B=2 \angle C$ ．
① 如图 2，当 $A D=D E$ 时，求 $B D$ 的长；
② 如图 3，当 $B D=C E$ 时，直接写出 $B D$ 的长是

已知 $\triangle A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}$ ，点 $D 、 E$ 分别在边 $B C 、$ 边 $A C$ 上，连接 $D E, D F \perp D E$ ，点 $F$ 、点 $C$ 在直线 $D E$同侧，连接 $F C$ ，且 $\frac{A B}{B C}=\frac{D E}{D F}=k$ ．
（1）点 $D$ 与点 $B$ 重合时，
① 如图 1，$k=1$ 时，$A E$ 和 $F C$ 的数量关系是 $\qquad$ ，位置关系是 $\qquad$ ；
② 如图 2，$k=2$ 时，猜想 $A E$ 和 $F C$ 的关系，并说明理由；
（2）$B D=2 C D$ 时，
① 如图 3，$k=1$ 时，若 $A E=2, S_{\triangle C D F}=6$ ，求 $F C$ 的长度；
② 如图 4，$k=2$ 时，点 $M 、 N$ 分别为 $E F$ 和 $A C$ 的中点，若 $A B=10$ ，直接写出 $M N$ 的最小值．