已知 $\triangle A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}$ ，点 $D 、 E$ 分别在边 $B C 、$ 边 $A C$ 上，连接 $D E, D F \perp D E$ ，点 $F$ 、点 $C$ 在直线 $D E$同侧，连接 $F C$ ，且 $\frac{A B}{B C}=\frac{D E}{D F}=k$ ．
（1）点 $D$ 与点 $B$ 重合时，
① 如图 1，$k=1$ 时，$A E$ 和 $F C$ 的数量关系是 $\qquad$ ，位置关系是 $\qquad$ ；
② 如图 2，$k=2$ 时，猜想 $A E$ 和 $F C$ 的关系，并说明理由；
（2）$B D=2 C D$ 时，
① 如图 3，$k=1$ 时，若 $A E=2, S_{\triangle C D F}=6$ ，求 $F C$ 的长度；
② 如图 4，$k=2$ 时，点 $M 、 N$ 分别为 $E F$ 和 $A C$ 的中点，若 $A B=10$ ，直接写出 $M N$ 的最小值．
（1）点 $D$ 与点 $B$ 重合时，
① 如图 1，$k=1$ 时，$A E$ 和 $F C$ 的数量关系是 $\qquad$ ，位置关系是 $\qquad$ ；
② 如图 2，$k=2$ 时，猜想 $A E$ 和 $F C$ 的关系，并说明理由；
（2）$B D=2 C D$ 时，
① 如图 3，$k=1$ 时，若 $A E=2, S_{\triangle C D F}=6$ ，求 $F C$ 的长度；
② 如图 4，$k=2$ 时，点 $M 、 N$ 分别为 $E F$ 和 $A C$ 的中点，若 $A B=10$ ，直接写出 $M N$ 的最小值．