如图 1，在 $Rt \triangle A B C$ 中，$\angle B=90^{\circ}, A B=4, B C=2$ ，点 $D, E$ 分别是边 $B C, A C$ 的中点，连接 $D E$ ．将 $\triangle C D E$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转，记旋转角为 $\alpha$ ．
（1）问题发现
① 当 $\alpha=0^{\circ}$ 时，$\frac{A E}{B D}=$ $\qquad$ ；
② 当 $\alpha=180^{\circ}$ 时，$\frac{A E}{B D}=$ $\qquad$ ；
（2）拓展探究
试判断当 $0^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}$ 时，$\frac{A E}{B D}$ 的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；
（3）问题解决
当 $\triangle C D E$ 绕点 $C$ 逆时针旋转至 $A, B, E$ 三点在同一条直线上时，求线段 $B D$ 的长．