单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2, X_1, \cdots, X_n$ 为其简单样本，均值为 $\bar{X}$ ，方差为 $S^2$ ．则 $\sigma^2$ 的无偏估计量为 $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $n \bar{X}^2+S^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} n \bar{X}^2+\frac{1}{2} S^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3} n \bar{X}^2+S^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} n \bar{X}^2+\frac{1}{4} S^2$
设一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu, \sigma^2$ 均末知，现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 $\bar{x}=20(cm)$ ，样本标准差 $s=1(cm)$ 。则 $\mu$ 的置信度为 0.90 的置信区间是（）。
$\text{A.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), \quad 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$
$\text{B.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), \quad 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$
$\text{C.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), \quad 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$
$\text{D.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}\right.$（15）， $20+\frac{1}{4} t_{0.1}$（15））
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设总体 $X$ 的概率密度函数为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}
\theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}(\theta>0)\right.
$$
求末知参数 $\theta$ 的矩估计量．
设总体 $X$ 在 $[a, b]$ 上服从均匀分布，$\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为其样本，样本均值 $\bar{X}$ ，样本方差 $S^2$ ，则 $a, b$ 的矩估计 $\hat{a}=$ $\qquad$ ，$\hat{b}=$ $\qquad$。
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \lambda)= \begin{cases}\lambda \alpha x^{\alpha-1} e^{-\lambda x^\alpha}, & \text { 若 } x>0 \\ 0, & \text { 若 } x \leqslant 0\end{cases}
$$
其中 $\lambda>0$ 是末知参数，$\alpha>0$ 是已知常数，根据来自总体 $X$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ，求 $\lambda$的最大似然估计量 $\hat{\lambda}$ 。
设某种元件的使用寿命 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}2 e^{-2(x-\theta)}, & x>\theta \\ 0, & x \leqslant \theta\end{cases}
$$
其中 $\theta>0$ 为末知参数，又设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是 $X$ 的一组样本观测值，求参数 $\theta$ 的最大似然估计值．
设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为一组样本值，求参数 $\mu, \sigma^2$ 的极大似然估计．
设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自于参数为 $\lambda$ 的泊松分布．试证明 $\bar{X}$ 与 $S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 都是 $\lambda$ 的无偏估计，且对任 $-a$ 值， $0 \leqslant a \leqslant 1$ ，统计量 $a \bar{X}+(1-a) S^2$ 也是 $\lambda$ 的无偏估计．
设由来自正态总体 $X \sim N\left(\mu, 0.9^2\right)$ 容量为 9 的简单随机样本，得样本均值 $\bar{X}=5$ ，则未知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间是
从总体 $X_1 \sim N\left(\mu_1, 25\right)$ 中取出一容量为 $n_1=10$ 的样本，其样本均值 $\bar{X}_1=19.8$ ；从总体 $X_2 \sim N\left(\mu_2, 36\right)$ 中取出容量为 $n_2=12$ 的样本，其样本均值 $\bar{X}_2=24.0$ ，已知两个样本之间相互独立，求 $\mu_1-\mu_2$ 的 0.90 置信区间。
设总体 $X$ 服从几何分布 $P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}, k=1,2, \cdots$ ．又 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自 $X$ 的样本值，则 $p$ 与 $E X$ 的最大似然估计分别为多少？
假定到某地旅游的一个游客的消费额 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，且 $\sigma=500$ ， $\mu$ 末知。要对平均消费额 $\mu$ 进行估计，使这个估计的绝对误差小于 50 元，且置信度不小于 0.95 ，问至少需要随机调查多少个游客？