解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\left\{F_i\right\}$ 为含于开区间 $\Delta=(a, b)$ 内的任一组互不相交的闭集列，则 $\Delta-\bigcup_{j=1}^{\infty} F_j$ 的势等于连续统的势 $\aleph$ 。
证明：开区间 $(a, b)$ 不能表示为 $R$ 中至多可数个两两不相交的闭集之并．
设 $G_1, G_2 \subset R ^n$ 为两个不相交的开集．证明：$G_1 \cap \overline{G_2}=\varnothing$ ．
设 $G \subset R ^n$ ．如果对 $\forall E \subset R ^n$ ，有 $G \cap \bar{E} \subset \overline{G \cap E}$ ．证明：$G$ 为开集．
设 $E \subset R ^n, E \neq \varnothing, R ^n$ ．证明：$E$ 的边界 $\partial E \neq \varnothing$ ．
设 $F \subset R ^1$ 为闭集，$F^c$ 的构成区间中有限构成区间的中心点的集合为 $E$ ．证明： $E^{\prime} \subset F^{\prime}$.
设 $\left\{F_\alpha \mid \alpha \in \Gamma\right\}$ 为 $R ^n$ 中的闭集族，且对 $\forall \alpha, \beta \in \Gamma$ ，有
$$
F_\alpha \subset F_\beta \quad \text { 或 } \quad F_\beta \subset F_\alpha .
$$
证明：$F_0=\bigcup_{a \in \Gamma} F_a$ 为 $F_\sigma$ 集．
设 $F \subset R ^n$ 为闭集．试构造 $R ^n$ 上的连续函数列 $f_k( x )(k=1,2, \cdots)$ ，s．t．
$$
\lim _{k \rightarrow+\infty} f_k( x )=\chi_F( x ), \quad \forall x \in R ^n
$$
设 $G \subset R ^n$ 为开集．试构造 $R ^n$ 上的连续函数列 $g_k(x)$ 列 $(k=1,2, \cdots)$ ，s．t．
$$
\lim _{k \rightarrow+\infty} g_k(x)=\chi_G(x), \quad \forall x \in R ^n
$$
设 $E \subset R ^n$ ．证明：$\chi_E(x)$ 为 $R ^n$ 上连续函数列的极限 $\Leftrightarrow E$ 既为 $G_\delta$ 集又为 $F_\sigma$ 集．