解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设
$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{lll}
-3 & 2 & 3 \\
-1 & 1 & 1 \\
-4 & 1 & 4
\end{array}\right]
$$
求矩阵 $A , B$ 的全部特征值及对应的特征向量．
试证 $n$ 阶矩阵 $A$ 与转置矩阵 $A ^{ T }$ 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值．
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 都是 $n$ 阶方阵 $A$ 的两个特征值，且 $\lambda_1 \neq \lambda_2, X _1, X _2$ 是 $A$ 的分别属于 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量，试证： $X _1+ X _2$ 不可能是 $A$ 的特征向量。
设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶可逆阵 $A$ 的特征值．求 $A ^{-1}, I - A ^{-1}$ 及 $A ^*$ 的特征值．
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的两个不同的特征值． $X _{11}, X _{12}, \cdots$ ， $X _{1 m_1}$ ；及 $X _{21}, X _{22}, \cdots, X _{2 m_2}$ 分别是属于 $\lambda_1, \lambda_2$ 的各自线性无关的特征向量，试证向量组： $X _{11}, X _{12}, \cdots, X _{1 m_1}, X _{21}, X _{22}, \cdots, X _{2 m_2}$ 也线性无关。
设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A ^2= A$ ，试证 $A$ 的特征值只有 1 或 0 ．
设 $A$ 与 $B$ 是 $n$ 阶方阵，证明 $A B$ 与 $B A$ 有相同的特征值．
已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是它的 $n$ 个特征值， $X _1$ ， $X _2, \cdots, X _n$ 是 $A$ 的分别属于 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的线性无关的特征向量。求矩阵（ $A$ $\left.-\lambda_0 I\right)$ 的全部特征值及一组线性无关的特征向量。
已知矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & x & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]$ 与 $B =\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right]$ 相似，求 $x$ 与 $y$ 的值．