单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t \cdot \sin ^2 x$ ，则 ( ).
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，也是 $g(x)$ 的极值点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点， $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $(0,0)$ 是 $y=f(x)$ 的拐点， $x=0$ 是 $g(x)$ 的极值点
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
已知级数 ① $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n^3 \pi}{n^2+1}$; ② $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\tan \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\right)$, 则
$\text{A.}$ ①②均条件收敛
$\text{B.}$ ①条件收敛②绝对收敛
$\text{C.}$ ①绝对收敛②条件收敛
$\text{D.}$ ①②均绝对收敛
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在.
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在.
设函数 $f(x, y)$ 连续, 则 $\int_{-2}^2 d x \int_{4-x^2}^4 f(x, y) d y=$
$\text{A.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y) d x\right] d y$
$\text{B.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{\sqrt{4 y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y) d x\right] d y$
$\text{C.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_2^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x\right] d y$
$\text{D.}$ $2 \int_0^4 d y\left[\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y)\right] d x$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3$ 的正惯性指数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是 $n$ 维向量, $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关, 且 $\alpha_{1+} \alpha_2+\alpha_4=0$, 在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中, 关于 $x, y, z$ 的方程组 $x \alpha_1+y \alpha_2+z \alpha_3=\alpha_4$ 的几何图形是
$\text{A.}$ 过原点的一个平面
$\text{B.}$ 过原点的一条直线
$\text{C.}$ 不过原点的一个平面
$\text{D.}$ 不过原点的一条直线
设 $n$ 阶矩阵 $A, B, C$ 满足 $r(A)+r(B)+r(C)=r(A B C)+2 n$, 给出下列四个结论:
(2) $r(A B C)+n=r(A B)+r(C) ;$
(2) $r(A B)+n=r(A)+r(B)$;
(3) $r(A)=r(B)=r(C)=n$;
(3) $r(A B)=r(B C)=n$ ，其中正确的选项是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(3)
$\text{C.}$ (2)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(0,0 ; 1,1 ; \rho)$, 其中 $\rho \in(-1,1)$, 若 $a, b$ 为满足 $a^2+b^2=1$的任意实数, 则 $D(a X+b Y)$ 的最大值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $1+|\rho|$
$\text{D.}$ $1+\rho^2$
设 $X_1, X_2, \ldots, X_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本, 令 $T=\sum_{i=1}^{20} X_i$, 利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{T \leq 1\} \approx$
$\text{A.}$ $\frac{1}{ e ^2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{ e ^2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{ e ^2}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{ e ^2}$
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自正态总体 $N(\mu, 2)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, Z_\alpha$ 表示标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数, 假设检验问题: $H_0: \mu \leq 1, H_1: \mu>1$ 的显著性水平为 $\alpha$ 的检验的拒绝域为
$\text{A.}$ $\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \left\lvert\, \bar{X}>1+\frac{2}{n} Z_\alpha\right.\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \left\lvert\, \bar{X}>1+\frac{\sqrt{2}}{n} Z_\alpha\right.\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \left\lvert\, \bar{X}>1+\frac{2}{\sqrt{n}} Z_\alpha\right.\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \left\lvert\, \bar{X}>1+\sqrt{\frac{2}{n}} Z_\alpha\right.\right\}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ x^2, \frac{1}{2} \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的傅里叶级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x, S(x)$ 为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ 的和函数, 则 $S\left(-\frac{7}{2}\right)=$
已知函数 $U(x, y, z)=x y^2 z^3$, 向量 $n=(2,2,-1)$, 则 $\left.\frac{\partial v}{\partial n}\right|_{(1,1,1)}=$
已知有向曲线 $L$ 是沿抛物线 $y=1-x^2$ 从点 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 的段, 则曲线积分
$$
\int_L(y+\cos x) d x+(2 x+\cos y) d y=
$$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7\end{array}\right)$ 若方程组 $A^2 x=0$ 与 $A x=0$ 不同解则 $a-b=$
设 $A , B$ 为两个随机事件， $A , B$ 相互独立 $P(A)=2 P(B), P(A \cup B)=\frac{5}{8}$ 则 $A , B$至少有一个发生的条件下 .
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$
函数 $f(u)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有二阶导数, 记 $g(x, y)=f\left(\frac{x}{y}\right)$,若 $g(x, y)$ 满足 $x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+x y \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=1$, 且 $g(x, x)=1,\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x, x)}=\frac{2}{x}$, 求 $f(u)$.
设 $\Sigma$ 是由直线 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array}\right.$ 绕直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t \\ z=t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数) 旋转一周得到的曲面， $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 介于平面 $x+y+z=0$ 与 $x+y+z=1$ 之间部分的外侧，计算曲面积分
$$
\iint_{\Sigma_1} x d y d z+(y+1) d z d x+(z+2) d x d y
$$
设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ 已知 1 是 A 的特征多项式的重根
(1) 求 $a$ 的值
(2) 求所有满足 $A^2 a=a+2 \beta$
$A a=a+\beta$ 非零列向量 $a, \beta$
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 X 的关系为
$$
Y=\left\{\begin{array}{l}
0, x \leq 0 \\
x-100, x>100
\end{array}\right.
$$
, 设损失事件发生时, 投保人的损失额 $X$ 概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3}, x>0 \\
0, x \leq 0
\end{array} .\right.
$$
(1)求 $P\{Y>0\}$ 及 $E Y$
(2)这种损失事件在一年内发生的次数记为 N 保险公司在一年内就这种损失事件产生次数记为 $M$ 。假设 $N$ 服从参数为 8 的泊松分布，在 $N=n(n \geq 1)$ 的条件下，M 服的理赔
从二项分布 $B ( n , p )$, 其中 $p=P(Y>0)$ 求 M 的概率分布.
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 可导, 证明导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$内严格单调递增的充分必要条件是: 对 $(a, b)$ 内任意 $x_1, x_2, x_3$, 当 $x_1 < x_2 < x_3$ 时, 有 $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1} < \frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)}{x_3-x_2}$