单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x)$ 的导数是 $\sin x$, 则 $f(x)$ 的原函数是 ( )。
$\text{A.}$ $1+\sin x$
$\text{B.}$ $1-\sin x$
$\text{C.}$ $1+\cos x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$
设 $f(x)$ 可导, $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$, 则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 可导的
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 即不充分又不必要条件
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}=a, g(x)=\left\{\begin{array}{l}f\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$, 则 ( )。
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $g(x)$ 的第一类间断点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $g(x)$ 的第二类间断点
$\text{C.}$ $g(x)$ 在 $x=0$ 的连续性与 $a$ 相关
$\text{D.}$ $g(x)$ 在 $x=0$ 的连续
设 $A 、 B$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=2,|B|=-3$, 则 $\left|2 A^* B^{-1}\right|=$
$\text{A.}$ -12
$\text{B.}$ $-\frac{4}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{2^{2 n-1}}{3}$
$\text{D.}$ $(D)-\frac{2^{n+1}}{3}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x d x=$
$\int_1^{+\infty}\left[\frac{1}{x}-\ln \left(\frac{1}{x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)\right] d x=$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}10 & -5 & 1 \\ -8 & 4 & -1 \\ -7 & 4 & -1\end{array}\right)$, 则 $A^{-1}=$
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln [f(x)+2]}{x-\sin x}=1$, 则 $f^{\prime}(0)=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{1-\sqrt{1+x^2}}$
$\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\int_0^{x^2} \ln \sqrt[3]{1+t} d t}{\left[\left(1+2 x^2\right)^x-1\right] \sin ^2 \sqrt{x}}$
设 $f(x)=e^x \cos x$, 求 $f^{(n)}(x)$ 。
设函数 $y(x)$ 由方程 $y=1-x e^y$ 确定，求 $\left.d y\right|_{x=0}$ 。
$\int \sqrt{x} \ln ^2 x d x$
$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}$
设 $A X=b$ 为非其次线性方程组, $r\left(A_{5 \times 4}\right)=3, \alpha, \beta, \gamma$ 为方程解, $\alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$,
$\beta+\gamma=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 6 \\ 9\end{array}\right)$, 求方程组通解。
设 $f(x)=\sin x \quad\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right) 、 g(x)=a \quad(0 \leq a \leq 1)$ 及 $x=0$ 所围面积为 $A_1, f(x)$ 、 $g(x)$ 及 $x=\frac{\pi}{2}$ 。所围面积为 $A_2$, 当 $a$ 取何值时, $A=A_1+A_2$ 最小, 并求出最小值。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续又单调增加, 且 $f(0) \geq 0$, 证明: $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \int_0^x t^n f(t) d t, x>0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续又单调增加 $(n>0)$ 。
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, 且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$ 。已知 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内取到最大值 $\frac{1}{4}$, 则有 $|f(0)|+|f(1)| \leq 1$ 。