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高中数学第一轮复习强化训练51（圆锥曲线的综合问题)）

发布日期 2024/9/30 9:47:38      查看 2      加入组卷      查看作者     
单选题
已知双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线过点 $(\sqrt{3}, 2)$, 且双曲线的一个焦点在抛物线 $x^2=4 \sqrt{7} y$ 的准线上，则双曲线的方程为（）
$\text{A.}$ $\frac{y^2}{21}-\frac{x^2}{28}=1$ $\text{B.}$ $\frac{x^2}{28}-\frac{y^2}{21}=1$ $\text{C.}$ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ $\text{D.}$ $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{3}=1$
设 $O$ 为坐标原点, $F_1, F_2$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ 的焦点, 点 $P$ 在 $C$ 上, $|O P|=\sqrt{3}$, 则 $\cos \angle F_1 P F_2=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}$ $\text{B.}$ 0 $\text{C.}$ $\frac{1}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
过抛物线 $y^2=2 p x$ 焦点 F 的直线, 与抛物线交于 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点, 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 则 $\frac{y_1 y_2}{x_1 x_2}=(\quad)$
$\text{A.}$ -4 $\text{B.}$ 4 $\text{C.}$ $4 p$ $\text{D.}$ $-4 p$
已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ 和双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的公共焦点为 $F_1, F_2$, 在第一象限内的交点为 $P$, 则
$PF_1 \cdot PF_2$
$\text{A.}$ -4 $\text{B.}$ -6 $\text{C.}$ -8 $\text{D.}$ -9
双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条渐近线与圆 $C:(x-3)^2+y^2=4$ 相交于 $A, B$ 若 $ A B C$ 的面积为 2 , 则双曲线 $E$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ $\text{B.}$ $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ $\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ $\text{D.}$ $\frac{11 \sqrt{7}}{7}$
某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型 (图甲), 该模型由两个相同的部件拼接粘连制成, 每个部件由长方形纸板 $N C E M$ (图乙) 沿虚线裁剪后卷一周形成, 其中长方形 $O C E F$ 卷后为圆柱 $O_1 O_2$ 的侧面. 为准确画出裁剪曲线, 建立如图所示的以 $O$ 为坐标原点的平面直角坐标系, 设 $P(x, y)$ 为裁剪曲线上的点, 作 $P H \perp x$ 轴, 垂足为 $H$. 图乙中线段 $O H$ 卷后形成的圆弧 ${ }^{\prime} H$ （图甲）, 通过同学们的计算发现 $y$ 与 $x$ 之间满足关系式 $y=3-3 \cos \frac{x}{3}(0 \leq x < 6 \pi)$, 现在另外一个纸板上画出曲线 $y=1-\cos \frac{x}{2}(0 \leq x < 4 \pi)$, 如图丙所示, 把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周, 求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为 $(\quad)$


$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
已知双曲线 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的右焦点到其一条渐近线的距离等于 $\sqrt{2}$, 抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点与双曲线的右焦点重合, 则抛物线上一动点 $M$ 到直线 $l_1: 4 x-3 y+8=0$ 和 $l_2: x=-3$ 的距离之和的最小值为 $(\quad)$

$\text{A.}$ $\frac{11}{5}$ $\text{B.}$ $\frac{14}{5}$ $\text{C.}$ $\frac{16}{5}$ $\text{D.}$ $\frac{21}{5}$
设 $F$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点, 过点 $(2,0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 设直线 $A F, B F$ 的斜率分别为 $k_1, k_2\left(k_2 \neq 0\right)$, 则 $\frac{k_1}{k_2}$ 为

$\text{A.}$ -1 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ -4
多选题
双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=-2 x$, 半焦距为 $c$, 则下列论述错误的是（）
$\text{A.}$ 双曲线 $C$ 的离心率为 3 $\text{B.}$ 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为 $\sqrt{5}$ $\text{C.}$ 直线 $y=x+1$ 与双曲线 $C$ 有两个不同的交点 $\text{D.}$ 过点 $(c, \sqrt{3} b)$ 有两条直线与双曲线 $C$ 相切
在椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 中, $F$ 为椭圆 $C$ 的右焦点, A 为椭圆 $C$ 的左顶点, $B$ 为椭圆 $C$ 短轴上的顶点, 若椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $F B \perp A B$ $\text{B.}$ $c^2=a b$ $\text{C.}$ $\angle B A F$ 大于 $30^{\circ}$ $\text{D.}$ $b^2=a c$
圆 $O: x^2+y^2=r^2(r>0)$ 与双曲线 $E: x^2-\frac{y^2}{2}=1$ 交于 $\mathrm{A}, B, C, D$ 四点, 则
$\text{A.}$ $r$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$ $\text{B.}$ 若 $r=\sqrt{3}$, 矩形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{8 \sqrt{5}}{3}$ $\text{C.}$ 若 $r=\sqrt{3}$, 矩形 $A B C D$ 的对角线所在直线是 $E$ 的渐近线 $\text{D.}$ 存在 $r>0$, 使四边形 $A B C D$ 为正方形
过抛物线 $E: x^2=2 p y(p>0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $E$ 于 $A, B$ 两点（点 A 在第一象限）， $M$ 为线段 $A B$ 的中点.若 $|A F|=2|B F|=4$ ，则下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ 抛物线 $E$ 的准线方程为 $y=-\frac{8}{3}$ $\text{B.}$ 过 $A, B$ 两点作抛物线的切线，两切线交于点 $N$ ，则点 $N$ 在以 $A B$ 为直径的圆上 $\text{C.}$ 若 $O$ 为坐标原点, 则 $|O M|=\frac{\sqrt{33}}{2}$ $\text{D.}$ 若过点 $F$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $m$ 交抛物线于 $C, D$ 两点, 则 $|A B| \cdot|C D|=288$
填空题
已知点 $P$ 在抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 上, 过 $P$ 作 $C$ 的准线的垂线, 垂足为 $H$, 点 $F$ 为 $C$ 的焦点. 若 $\angle H P F=60^{\circ}$, 点 $P$ 的横坐标为 1 , 则 $p=$
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1(0 < b < 2)$, 直线 $l_1: y=x+m$ 与椭圆 $C$ 交于 $\mathrm{A}, B$ 两点, 且 $|A B|$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$,则椭圆 $C$ 的方程为
已知圆 $C_1: x^2+y^2=b^2(b>0)$ 与双曲线 $C_2: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$, 若在双曲线 $C_2$ 上存在一点 $P$, 使得过点 $P$ 所作的圆 $C_1$ 的两条切线, 切点为 $\mathrm{A} 、 B$, 且 $\angle A P B=\frac{\pi}{3}$, 则双曲线 $C_2$ 的离心率的取值范围是
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 离心率为 $e$, 点 $P$ 在椭圆上, 连接 $P F_1$ 并延长交 $C$ 于点 $Q$, 连接 $Q F_2$, 若存在点 $P$ 使 $|P Q|=\left|Q F_2\right|$ 成立, 则 $e^2$ 的取值范围为 $\qquad$

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