某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型 (图甲), 该模型由两个相同的部件拼接粘连制成, 每个部件由长方形纸板 $N C E M$ (图乙) 沿虚线裁剪后卷一周形成, 其中长方形 $O C E F$ 卷后为圆柱 $O_1 O_2$ 的侧面. 为准确画出裁剪曲线, 建立如图所示的以 $O$ 为坐标原点的平面直角坐标系, 设 $P(x, y)$ 为裁剪曲线上的点, 作 $P H \perp x$ 轴, 垂足为 $H$. 图乙中线段 $O H$ 卷后形成的圆弧 ${ }^{\prime} H$ （图甲）, 通过同学们的计算发现 $y$ 与 $x$ 之间满足关系式 $y=3-3 \cos \frac{x}{3}(0 \leq x < 6 \pi)$, 现在另外一个纸板上画出曲线 $y=1-\cos \frac{x}{2}(0 \leq x < 4 \pi)$, 如图丙所示, 把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周, 求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$