在椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 中, $F$ 为椭圆 $C$ 的右焦点, A 为椭圆 $C$ 的左顶点, $B$ 为椭圆 $C$ 短轴上的顶点, 若椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $F B \perp A B$
$\text{B.}$ $c^2=a b$
$\text{C.}$ $\angle B A F$ 大于 $30^{\circ}$
$\text{D.}$ $b^2=a c$
$\text{E.}$
$\text{F.}$