单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知圆柱的高为 1 , 它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}$
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
学校以"布一室馨香, 育满园桃李"为主题开展了系列评比活动, 动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧。张老师特地培育了一盆绿夢放置在教室内, 绿萝底部的盆近似看成一个圆台, 圆台的上、下底面半径之比为 $3: 2$, 母线长为 10 cm , 其母线与底面所成的角为 $60^{\circ}$, 则这个圆台的体积为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{2375 \sqrt{3}}{3} \pi \mathrm{cm}^3$
$\text{B.}$ $\frac{4750 \sqrt{3}}{3} \pi \mathrm{cm}^3$
$\text{C.}$ $\frac{7125 \sqrt{3}}{3} \pi \mathrm{cm}^3$
$\text{D.}$ $\frac{9500 \sqrt{3}}{3} \pi \mathrm{cm}^3$
如图, 圆锥的母线长为 2 , 点 $M$ 为母线 $A B$ 的中点, 从点 $M$ 处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达 $B$ 点, 这条绳子的长度最短值为 $\sqrt{5}$, 则此圆锥的表面积为 ( )
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $\frac{5}{4} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} \pi$
$\text{D.}$ $2 \pi$
图 1 是一个水平放置且高为 6 的直三棱柱容器 $A B C-A_1 B_1 C_1$, 现往内灌进一些水, 设水深为 $h$. 将容器底面的一边 $A B$ 固定于地面上, 再将容器倾斜, 当倾斜到某一位置时, 水面形状恰好为 $\triangle A_1 B_1 C$, 如图 2 , 则 $h=(\quad)$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 6
民间娱乐健身工具陀螺起源于我国, 最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址. 如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知. 底面圆的直径 $A B=16{ }^{c m}$, 圆柱体部分的高 $B C=8 \mathrm{~cm}$, 圆锥体部分的高 $C D=$ $6{\mathrm{cm}}$ ，则这个陀螺的表面积是 ( )
$\text{A.}$ $192 \pi \mathrm{cm}^2$
$\text{B.}$ $252 \pi \mathrm{cm}^2$
$\text{C.}$ $272 \pi \mathrm{cm}^2$
$\text{D.}$ $336 \pi \mathrm{cm}^2$
民间娱乐健身工具陀螺起源于我国, 最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的如图，"十字歇山"是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 $120^{\circ}$ ，腰为 3 的等腰三角形, 则该几何体的体积为 ( )
$\text{A.}$ 23
$\text{B.}$ 24
$\text{C.}$ 26
$\text{D.}$ 27
如图，在平面四边形 $A B C D$ 中，满足 $A B=B C, C D=A D$ ，且 $A B+A D=10, B D=8$, 沿着 $B D$ 把 $R D$ 折起, 使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置, 且使 $P C=2$, 则三棱锥 $P-B C D$ 体积的最大值为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ $12 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{16}{3}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 $2 R$ 相等, 下列结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ 圆柱的侧面积为 $4 \pi R^2$
$\text{B.}$ 圆锥的侧面积为 $2 \pi R^2$
$\text{C.}$ 圆柱的侧面积与球的表面积相等
$\text{D.}$ 球的体积是圆锥体积的两倍
已知三棱锥 $P-A B C$ 的顶点均在半径为 5 的球面上, $\triangle A B C$ 为等边三角形且外接圆半径为 4 , 平面 $P A B \perp$ 平面 $A B C$, 则三棱锥 $P-A B C$ 的体积可能为 ( )
$\text{A.}$ 20
$\text{B.}$ 40
$\text{C.}$ 60
$\text{D.}$ 80
清初著名数学家孔林宗曾提出一种"䓡蒕形多面体", 其可由两个正交的正四面体组合而成, 如图 1, 也可由正方体切割而成, 如图 2. 在图 2 所示的"䒨藜形多面体"中, 若 $A B=2$, 则给出的说法中正确的是 ( )
$\text{A.}$ 该几何体的表面积为 $18 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ 该几何体的体积为 4
$\text{C.}$ 二面角 $B-E F-H$ 的余弦值为 $-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 若点 $P, Q$ 在线段 $B M, C H$ 上移动, 则 $P Q$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
如图, 在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $M, N$ 分别是 $A B, A D$ 的中点, $P$ 为线段 $C_1 D_1$ 上的动点 (不含端点), 则下列结论中正确的是 ( )
$\text{A.}$ 三棱锥 $M-P N C$ 的体积为定值
$\text{B.}$ 异面直线 $B C$ 与 $M P$ 所成的最大角为 $45^{\circ}$
$\text{C.}$ 不存在点 $P$ 使得 $M N \perp N P$
$\text{D.}$ 当点 $P$ 为 $C_1 D_1$ 中点时, 过 $M 、 N 、 P$ 三点的平面截正方体所得截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} a^2$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知三棱锥有一个面是边长为 2 的正三角形, 两个面为等腰直角三角形, 该三棱锥的体积可能为 $\qquad$ .(只需要写出一个即可, 不必全部写出)
"升"是我国古代测量粮食的一种容器, 在"升"装满后用手指成筷子沿升口刮平, 这叫"平升", 如图所示的"升",从内部测量, 其上、下底面均为正方形, 边长分别为 20 cm 和 10 cm , 侧面是全等的等腰梯形, 梯形的高为 $5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$,那么这个"升"的"平升"可以装 $\qquad$ mL 的粮食. (结果保留整数) |
学生到工厂劳动实践, 利用 $3 D$ 打印技术制作模型, 如图, 该模型为长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 挖去四棱锥 $O-E F G H$ 后所得的几何体, 其中 $O$ 为长方体的中心, $E, F, G, H$, 分别为所在棱的中点, $A B=B C=6 \mathrm{~cm}, A A_1=4 \mathrm{~cm}, 3 D$ 打印所用原料密度为 $0.9 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 $\qquad$ $g$.
如图所示, 有两个相同的直三棱柱, 高为 $\frac{2}{a}$, 底面三角形的三边长分别为 $3 a, 4 a, 5 a(a>0)$. 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱, 在所有可能的情形中, 全面积最小的是一个四棱柱, 则 $a$ 的取值范围是 $\qquad$
