填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $n$ 矩阵 $A, B$ 满足条件 $A B-B+2 E=O$, 则矩阵 $A B-B A+2 A$ 的秩为
当 $k$ 取值 时, $f(x, y, z)=k\left(x^2+y^2+z^2\right)-2 x y+2 y z$ 是正定的。
在线性空间 $\mathrm{R}^{2 \times 2}$ 中, $\alpha_1=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \quad \alpha_2=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \quad \alpha_4=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ 是 一个基, 则向量 $\alpha=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ 在该基下的坐标为
设 $V$ 为次数小于 4 的实系数一元多项式的全体的线性空间, $V$ 上的线性 变换 $T$ 定义为: $\forall f(x) \in V, T(f(x))=f^{\prime \prime}(x)$, 求线性变换 $T$ 在基 $\left\{1, x, x^2, x^3\right\}$ 下的矩阵 $A$.
在殴氏空间 $\mathrm{R}^3$ 中, $\alpha_1=(1,0,0)^T, \alpha_2=(1,1,0)^T, \alpha_3=(1,1,1)^T$ 是一个基, 求 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的度量矩阵 $A$.
殴氏空间 $\mathrm{R}^2$ 中, 基 $\alpha_1, \alpha_2$ 下的度量矩阵为 $\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right)$, 则向量 $2 \alpha_1+\alpha_2$ 与 向量 $\alpha_1-\alpha_2$ 的夹角 $\theta=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 3 阶矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda_1=2, \lambda_2=3, \lambda_3=4$, 对应的特征向量分别为
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \alpha_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \alpha_3=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right) \text {, 设 } P=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \text {, }
$$
1) 求矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的特征值与特征向量;
2) 设 $B=P A^* P^{-1}$, 求 $B$ 的特征值与特征向量.
用正交变换将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-2 x_2^2-2 x_3^2-4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 化为标准型, 写出所用的正交变换.
设向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 与 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 是线性空间 $V$ 的两个基, $T$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换, 若 $\alpha_1=\beta_1-\beta_2, \alpha_2=\beta_2-\beta_3, \alpha_3=2 \beta_3-\beta_1$, 且 $T\left(\alpha_1\right)=\beta_1+\beta_2, T\left(\alpha_2\right)=\beta_2+\beta_3, T\left(\alpha_3\right)=\beta_3+\beta_1$,
1）求由基 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 到基 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 的过渡矩阵 $C$;
2）求线性变换 $T$ 在两个基 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 与 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 下的矩阵 $A$ 与 $B$.
在线性空间 $\mathrm{R}^3$ 中, $\alpha_1=(1,0,0)^T, \alpha_2=(1,1,0)^T, \alpha_3=(1,1,1)^T$ 是一个基, $\mathrm{R}^3$ 上的线性变换 $T$ 定义为: $T\left(x_1, x_2, x_3\right)^T=\left(x_1+x_2, x_2, x_1+x_2+x_3\right)^T$,
1) 求线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵 $A$;
2) 求线性变换 $T$ 的特征值与特征向量。
设 $V$ 是 3 维殴氏空间, $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $V$ 的一个基, 其度量矩阵为 $A ; \beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $V$ 的另一个基, 从 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵为 $C$.
1) 求内积 $\left(\alpha_1, \beta_1\right)$;
2) 求基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的度量矩阵 $B$;
3 ) 求所有与向量 $\alpha_1+\beta_1$ 正交的向量。
设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的单特征值, 求证: 矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的线 性无关的特征向量的个数恰为 1 个.