单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小。
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是同阶但非等价无穷小。
$\text{C.}$ $f(x)$ 为 $x$ 的高阶无穷小量。
$\text{D.}$ $f(x)$ 为 $x$ 的低阶无穷小量。
设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处不可导的充分条件是
$\text{A.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a)=0$ ．
$\text{B.}$ $f(a)>0$ 且 $f^{\prime}(a)>0$ ．
$\text{C.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ．
$\text{D.}$ $f(a) < 0$ 且 $f^{\prime}(a) < 0$ ．
若 $f(-x)=f(x) \quad(-\infty < x < +\infty)$ ，在 $(-\infty, 0)$ 内 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ 。
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ 。
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ 。
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ 。
设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，又 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{x-a}=-1$ ，则
$\text{A.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极小值。
$\text{B.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值。
$\text{C.}$ $(a, f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。
$\text{D.}$ $x=a$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(a, f(a))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。
下述命题正确的是
$\text{A.}$ 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $x_0$ 处也不连续；
$\text{B.}$ 设 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$f\left(x_0\right)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) g(x)=0$ ；
$\text{C.}$ 设存在 $\delta>0$ ，使当 $x \in\left(x_0-\delta, x_0\right)$ 时，$f(x) < g(x)$ ，并设$ \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=a, \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} g(x)=b, \text {, 则必有 } a < b $
$\text{D.}$ 设 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=a, ~ \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} g(x)=b, ~ a < b$ ，则存在 $\delta>0$ ，使当 $x \in\left(x_0-\delta, x_0\right)$ 时，$f(x) < g(x)$ 。
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $x_0=1, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=$
（归结原则）设 $f(x)$ 在 $U^o\left(x_0 ; \delta\right)$ 内有定义， $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的充要条件是
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ，则 $d y=$
当 $x=()$ 时，函数 $f(x)=x 2^x$ 取得极小值。
已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $\frac{\cos x}{x}$ ，则
$\int x f^{\prime}(x) d x =$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^2}}$
给定 $p$ 个正数 $a_1, a_2, ..., a_p$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_1^n+a_2^n+\mathrm{L}+a_p^n\right)^{\frac{1}{n}}$
设 $y=\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \arcsin \left(\frac{a \sin x+b}{a+b \sin x}\right)$（其中 $a>b>0$ ），求 $y^{\prime}$
求不定积分 $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x+2}{x-2}} d x$
求不定积分 $ \int \frac{x \sin x}{\cos ^3 x} d x $
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶导数连续，$f(0)=0$
$$
g(x)= \begin{cases}\frac{f(x)}{x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{cases}
$$
（1）确定 $a$ ，使 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续；
（2）证明对以上确定的 $a, g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续的一阶导函数。
设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 存在，证明 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界。
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试用 $\varepsilon-\delta$ 语言证明极限 $\lim _{x \rightarrow 2} x^2=4$
证明方程 $x^n+p x+q=0$（ $n$ 为正整数，$p 、 q$ 为实数），当 $n$ 为奇数时最多有 三个实根
试用拉格朗日中值定理证明：当 $x \geq 0$ 时
$$
0 < \frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x} < 1
$$