解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^2-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程
求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^2+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$.
计算 $\int \frac{\arccos x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_{-1}^1 \frac{x+2}{e^x+e^{-x}} \mathrm{~d} x$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n ! \cdot 2^n}(x-2)^n$ 的收敛域与和函数.
计算二重积分: $\iint_D \frac{\sin y \cos y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为直线 $y=x$与抛物线 $x=y^2$ 所围成的封闭区域.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 y}{\sqrt{x^2+y^2}}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0 \quad, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，求二阶偏导数 $f_{x y}^{\prime \prime}$.
设函数 $f(x)=\pi-x$ ，其中 $x \in[0, \pi]$.
（1）将 $f(x)$ 展开为余弦级数，并在 $[-\pi, \pi]$ 上写出和函数表达式.
(2) 判断该级数在 $[0, \pi]$ 内是否一致收敛，并说明原因.
计算曲线积分: $I=\oint_L y^2 \mathrm{~d} x+z^2 \mathrm{~d} y+x^2 \mathrm{~d} z$ ，其中 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与柱面 $x^2+y^2=a x$ 的交线，从 $z$ 轴正向看过去为逆时针方向，其中 $z \geq 0, a>0$.
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{\int_0^x \frac{\ln (1+x y)}{y} \mathrm{~d} y}$.
计算含参量反常积分: $\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y \cdot e^y} \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且
$$
f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1 .
$$
证明: 必定存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$.
设 $D=\{(x, y): 0 < x < 1,0 < y < +\infty\}$ ，证明：对任意的 $(x, y) \in D$ ，成立不等式: $y \cdot x^y \cdot(1-x) < \frac{1}{e}$.
设 $f_n(x)=n^\alpha \cdot x e^{-n x},(n=1,2, \cdots)$ ，问:
(1) 当 $\alpha$ 为何值时， $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛?
(2) 当 $\alpha$ 为何值时， $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛?
(3) 当 $\alpha$ 为何值时，以下等式成立?
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 \lim _{n \rightarrow+\infty} f_n(x) \mathrm{d} x $
设 $a_n>0$ ，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，以 $S_n$ 表示前 $n$ 项的和，即 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^n a_k$.
证明: (1) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n}$ 发散.
(2) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n{ }^2}$ 收敛.
证明: 若 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上分别对每个自变量 $x$ 和 $y$ 都连续，并且对 $x$ 是单调的，则函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内为连续函数.
解答如下问题:
(1) 叙述 $\mathbb{R}^n$ 上的有限覆盖定理.
(2) 设对任意的 $x_0 \in[a, b]$ ，有 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0$ ，证明:
$f(x) \in \mathbb{R}[a, b] \text { 且 } \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0 $