单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则必有
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A} B=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$
$\text{C.}$ $|\boldsymbol{A B}|=|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$
$\text{D.}$ $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}={\boldsymbol{A}}^{-1}+ {\boldsymbol{B}}^{-1} $
设 $n$ 维行向量 $\alpha=\left(\frac{1}{2}, 0 \cdots, 0 \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵$A=E-\alpha^T \alpha, B=E+2 \alpha^T \alpha $, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A B$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\boldsymbol{E}$
$\text{C.}$ $E$
$\text{D.}$ $E+\alpha^T \alpha$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $|A|=a \neq 0$ ，而 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^*\right|=(\quad)$
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}$
$\text{C.}$ $a^{n-1}$
$\text{D.}$ $a^n$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其秩 $r < n$ ，那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中
$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关
$\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量线性无关
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组
$\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示
设 $\lambda=2$ 是非奇异矩阵 $A$ 的一个特征值，则矩阵 $\left(\frac{1}{3} A^2\right)^{-1}$ 有一特征值等于
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x-1 \\
1 & -1 & x+1 & -1 \\
1 & x-1 & 1 & -1 \\
x+1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right|$
设 $4 \times 4$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\right), B=\left(\beta, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\right)$ ，其中 $\alpha, \beta, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4$ 均为 4 维列向量，且已知行列式 $|A|=4,|B|=1$, 则行列式 $|A+B|=$
已知向量组 $\alpha_1=(1,2,3,4), \alpha_2=(2,3,4,5), \alpha_3=(3,4,5,6)$, $\alpha_4=(4,5,6,7)$ ，则该向量组的秩是
设 4 阶方阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 则 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}=$
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为零，且 $A$ 的秩为 $n-1$ ，则线性方程组 $A X=0$ 的通解为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $A$ 和 $B$ 满足关系式 $A B=A+2 B$, 求矩阵 $B$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 4
\end{array}\right),
$$
设 $B$ 是秩为 2 的 $5 \times 4$ 矩阵，
$$
\alpha_1=(1,1,2,3)^T, \alpha_2=(-1,1,4,-1)^T, \alpha_3=(5,-1,-8,9)^T
$$
是齐次方程组 $\boldsymbol{B} x=0$ 的解向量, 求 $\boldsymbol{B} x=0$ 的解空间的一个标准正交基.
已知 $R^3$ 的两个基为
$$
\alpha_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \beta_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right], \beta_2=\left[\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
4
\end{array}\right], \beta_3=\left[\begin{array}{l}
3 \\
4 \\
3
\end{array}\right] \text {, }
$$
求由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵.
设 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right], \quad \alpha_3=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right], \quad \beta=\left[\begin{array}{c}0 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right]$ ，问 $\lambda$ 取何值时，
(1) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式唯一?
(2) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式不唯一?
(3) $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示?
设 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 $C=\left(\begin{array}{ll}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)$ 是否是正定矩阵.
问 $a, b$ 我何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_2+2 x_3+2 x_4=1 \\ -x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1\end{array}\right.$有唯一解? 无解? 有无穷多组解? 并求出有无穷多解时的通解.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{array}\right) 与 B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似，
(1) 求 $x$ 与 $y$ ；(2) 求一个满足 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.
已知二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)
$$
通过正交变换化成标准形 $f=y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$, 求参数 $a$ 及所用的正交变换矩阵.
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(s \geq 2)$ 线性无关，设
$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \cdots, \\
& \beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s, \beta_s=\alpha_s+\alpha_1
\end{aligned}
$$
讨论向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 的线性相关性.
设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\xi} \boldsymbol{\xi}^T$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\xi}$ 是 $n$ 维非零列向量， $\xi^T$ 是 $\xi$ 的转置，证明:
(1) $A^2=A$ 的充要条件是 $\xi^T \xi=1$ ；
(2) 当 $\xi^T \xi=1$ 时， $A$ 是不可逆矩阵.