单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}, A=\{2,3,6,7\}, B=\{2,3,4,5\}$, 则 $A \cap\left(C_{ U } B\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\{6,7\}$
$\text{B.}$ $\{1,7\}$
$\text{C.}$ $\{1,6\}$
$\text{D.}$ $\{1,6,7\}$
不等式 $\left(\frac{1}{2}-x\right)\left(\frac{1}{3}-x\right)>0$ 的解集是
$\text{A.}$ $\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\right.\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{x \left\lvert\, x>\frac{1}{2}\right.\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{x \left\lvert\, x < \frac{1}{3}\right.\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{x \left\lvert\, x < \frac{1}{3}\right.\right.$ 或 $\left.x>\frac{1}{2}\right\}$
函数 $f(x)=\frac{\sqrt{9-x^2}}{x-1}$ 的定义域是（）
$\text{A.}$ $[-3,3]$
$\text{B.}$ $(-3,3)$
$\text{C.}$ $(-3,1) \cup(1,3)$
$\text{D.}$ $[-3,1) \cup(1,3]$
某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查, 要求每位同学至少选择一项，经统计有 21 人喜欢唱歌， 17 人喜欢跳舞， 10 人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有 12 人，同时喜欢唱歌和书法的有 6 人，同时喜欢跳舞和书法的有 5 人，三种都喜欢的有 2 人，则该班女生人数为
$\text{A.}$ 27
$\text{B.}$ 23
$\text{C.}$ 25
$\text{D.}$ 29
已知命题 $p: \forall x \in R , a x^2+2 x+3>0$ 为真命题, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )
$\text{A.}$ $\left\{a \left\lvert\, 0 < a \leq \frac{1}{2}\right.\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{a \left\lvert\, 0 < a < \frac{1}{3}\right.\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{a \left\lvert\, a \geq \frac{1}{3}\right.\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{a \left\lvert\, a>\frac{1}{3}\right.\right\}$
已知函数 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数, 当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=x(x+2)$. 若 $f(3+m)+f(3 m-7)>0$, 则 $m$ 的取值范围为（）
$\text{A.}$ $(-\infty, 0)$
$\text{B.}$ $(0,+\infty)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 1)$
$\text{D.}$ $(1,+\infty)$
若关于 $x$ 的不等式 $x^2-(m+2) x+2 m < 0$ 的解集中恰有 4 个正整数, 则实数 $m$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(6,7]$
$\text{B.}$ $[6,7]$
$\text{C.}$ $[6,7)$
$\text{D.}$ $(6,7)$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\frac{a x+b}{x^2+4}(a, b \in R )$, 且 $f(1)=\frac{1}{5}, f(2)=\frac{1}{4}$.
(1)求 $a$ 和 $b$ 的值;
(2) 判断 $f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上的单调性, 并根据定义证明.
已知函数 $f(x)=x^2+b x+c$, 满足 $f(0)=f(1)=1$.
(1)求 $b, c$ 值;
(2) 在 $[-1,1]$ 上, 函数 $f(x)$ 的图象总在一次函数 $y=2 x+m$ 的图象的上方, 试确定实数 $m$ 的取值范围;
(3) 设当 $x \in[t, t+2](t \in R )$ 时, 函数 $f(x)$ 的最小值为 $g(t)$, 求 $g(t)$ 的解析式.
对于一个四元整数集 $A=\{a, b, c, d\}$, 如果它能划分成两个不相交的二元子集 $\{a, b\}$ 和 $\{c, d\}$, 满足 $a b-c d=1$,则称这个四元整数集为"有趣的".
(1)写出集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 的一个"有趣的"四元子集:
(2)证明：集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 不能划分成两个不相交的"有趣的"四元子集:
(3)证明: 对任意正整数 $n(n \geq 2)$, 集合 $\{1,2,3, \cdots, 4 n\}$ 不能划分成 $n$ 个两两不相交的"有趣的"四元子集.