已知函数 $f(x)=x^2+b x+c$, 满足 $f(0)=f(1)=1$.
(1)求 $b, c$ 值;
(2) 在 $[-1,1]$ 上, 函数 $f(x)$ 的图象总在一次函数 $y=2 x+m$ 的图象的上方, 试确定实数 $m$ 的取值范围;
(3) 设当 $x \in[t, t+2](t \in R )$ 时, 函数 $f(x)$ 的最小值为 $g(t)$, 求 $g(t)$ 的解析式.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$