单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{m x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=1$
设函数 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f(u)$ 可导, 若 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=x y(\ln y-\ln x)$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=0$
$\text{B.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$
已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 其中 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n$ 存在, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos x_n$ 存在, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{\ln 1+x}{1+\cos x} d x, I_3=\int_0^1 \frac{2 x}{1+\sin x} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
下列是矩阵 $A_{3 \times 3}$ 可对角化充分而非必要条件是
$\text{A.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 有三个不同特征值
$\text{B.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 有三个线性无关特征向量
$\text{C.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 的任意两个特征向量正交
$\text{D.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 有三个不同特征值
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵, $E$ 为单位矩阵, 若方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解, 则
$\text{A.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{ll}A & O \\ E & B\end{array}\right] y=0$ 只有零解.
$\text{B.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{cc}E & A \\ O & A B\end{array}\right] y=0$ 只有零解.
$\text{C.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{ll}A & B \\ O & B\end{array}\right] y=0$ 与 $\left[\begin{array}{ll}B & A \\ O & A\end{array}\right] y=0$ 同解.
$\text{D.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{cc}A B & B \\ O & A\end{array}\right] y=0$ 与 $\left[\begin{array}{cc}B A & A \\ O & B\end{array}\right] y=0$ 同解.
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right)$, 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 等价, 则 $\lambda$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\{0,1\}$
$\text{B.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \quad \lambda \neq-2\}$
$\text{C.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \quad \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$
$\text{D.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \quad \lambda \neq-1\}$
设随机变量 $X \sim U(0,3)$, 随机变量 $Y \sim \lambda(2)$, 且 $X, Y$ 的协方差 $\operatorname{cov}(X, Y)=-1$, 则 $D(2 X-Y+1) $
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布, 且 $X_1$ 的 4 阶矩存在, 记 $E\left(X_1^k\right)=\mu_k(k=1,2,3,4)$,则由切比雪夫不等式, 对任意由 $\varepsilon>0$ 有 $P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\mu_2\right| \geq \varepsilon\right\} \leq $.
$\text{A.}$ $ \frac{\mu_4-\mu_2^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\mu_4-\mu_2^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
设 $X \sim N(0,1)$, 在 $X=x$ 的条件下, 随机变量 $Y \sim N(x, 1)$, 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{x y}$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x y)=x^2+2 y^2$, 求其在 $(0,1)$ 处的最大方向导数
求 $\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}=$
设 $x \geq 0, y \geq 0$, 满足 $x^2+y^2 \leq k e^{x+y}$, 则 $k$ 的取值范围是
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^n} e^{-n x}$ 的收敛域为 $(a,+\infty)$, 则 $a=$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆, 其中 $\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\left[\boldsymbol{E}-(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}\right] \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}$,则 $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}=$
设 $A, B, C$ 为随机事件, 且 $A$ 与 $B$ 互不相容, $A$ 与 $C$ 互不相容, $B$ 与 $C$ 相互独立, $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(B \cup C \mid A \cup B \cup C)=$
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}+\frac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}$ 满足条件 $y(1)=3$ 的解, 求 $y(x)$ 的渐进线.
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid y-2 \leq x \leq \sqrt{4-y^2}, 0 \leq y \leq 2\right\}$, 计算 $I=\iint_D \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} d x d y$.
已知 $\Sigma$ 为曲面 $4 x^2+y^2+z^2=1(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ 的上侧, $L$ 是 $\Sigma$ 的边界曲线, 其正向与与 $\Sigma$ 的正法向量满足右手法则, 计算积分曲线
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有二阶连续导数, 证明: $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件是: 对不同实数 $a$, $b, f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) d x$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 i j x_i x_j$. )
(1)写出 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 对应的矩阵;
(2)求正交变换 $x=Q y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形;
(3)求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自期望为 $\theta$ 的指数分布的简单随机样本, $Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 是来自期望为 $2 \theta$ 的指数分布的简单随机样本, $X_1, X_2, \cdots, X_n, Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 相互独立, 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$, 并求 $D(\hat{\theta})$.