填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
定积分 $\int_{-1}^1 \frac{1-x^4 \arcsin x}{\sqrt{4-x^2}} d x=$
设 $y=y(x)$ 由方程 $y^2 f(x)+x f(y)=x^2$ 确定，其中 $f(x)$ 是 $x$ 的可微函数，则 $\frac{d y}{d x}=$
已知 $\int \frac{f^{\prime}(\ln x)}{x} d x=x^2+C$ ，则 $f(x)=$
微分方程 $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x}$ 满足初始条件 $y(\pi)=1$ 的特解为
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x \tan x}-\frac{1}{x^2}\right)=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算广义积分 $\int_0^1 \frac{d x}{(2-x) \sqrt{1-x}}$ ．
讨论函数 $y=\frac{x^3}{2(x-1)^2}$ 的单调性，凹凸性，并求其极值，曲线的拐点及渐渐近线．并绘制出简图
证明等式 $\int_0^a x^3 f\left(x^2\right) d x=\frac{1}{2} \int_0^{a^2} x f(x) d x$ ，其中 $f(x)$ 连续，$a>0$ ，并计算 $\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} x^3 \sin \left(x^2\right) d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=e^{-x}+x$ 的通解．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\left(e^x-1\right) \ln (1+x)} \int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t$
记曲线段 $x^2+y^2=4,(y \geq 0,0 \leq x \leq 1)$ 与直线 $x=0, x=1$ 及 $x$ 轴所围的平面图形为 D，
（1） 求平面图形 $D$ 的面积；
（2） 求图形 $D$ 分别绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所成旋转体的体积．
设曲线 $C$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=(t-1) e^t \\ y=1-t^4\end{array}\right.$ 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$ 及曲线 $C$ 在参数 $t=0$ 对应点处曲率半径
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}, x < 0 \\ \frac{1}{2}, x=0 \\ \frac{1-\cos x}{x}, x>0\end{array}\right.$ 讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性和可导性，并求 $f^{\prime}(x)$.
跳伞运动员从高空自飞机上跳下，经若干秒后打开降落伞．开伞后的运动过程中所受的空气阻力为 $k v^2$ ，其中常数 $k>0, v$ 为下落速度，设人与伞的质量共为 $m$ ，且不计空气浮力，试证明：只要打开降落伞后有足够的降落时间才着地，则降落的速度将近似地等于 $\sqrt{\frac{m g}{k}}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x e^{1-x} f(x) d x$ ，证明：至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)$