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设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}, x < 0 \\ \frac{1}{2}, x=0 \\ \frac{1-\cos x}{x}, x>0\end{array}\right.$ 讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性和可导性，并求 $f^{\prime}(x)$.
                        
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