解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
当 $a$ 为何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有解时，求出其解．
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2-x_3 & =1, \\
2 x_1+3 x_2+a x_3 & =3, \\
x_1+a x_2+3 x_3 & =2 .
\end{aligned}\right.
$$
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+\lambda x_2+\mu x_3+x_4=0, \\
2 x_1+x_2+x_3+2 x_4=0, \\
3 x_1+(2+\lambda) x_2+(4+\mu) x_3+4 x_4=1,
\end{array}\right.
$$
已知 $[1,-1,1,-1]^{\mathrm{T}}$ 是该方程组的一个解．试求：
（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；
（2）该方程组满足 $x_2=x_3$ 的全部解．
设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3, \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3, \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3, \\ x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3 .\end{array}\right.$
（1）证明若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不等，则此方程组无解．
（2）设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，且已知 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 是该方程组的两个解，其中 $\boldsymbol{\beta}_1= [-1,1,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=[1,1,-1]^{\mathrm{T}}$ ．试写出此方程组的通解．
设四元齐次线性方程组（I）：$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0, \\ x_2-x_4=0,\end{array}\right.$ 又已知某齐次线性方程组（II）的通解为 $k_1[0,1,1,0]^{\mathrm{T}}+k_2[-1,2,2,1]^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求线性方程组（I）的基础解系；
（2）问线性方程组（I）和（II）是否有非零公共解？若有，则求出所有的公共非零解；若没有，则说明理由．
已知下列非齐次线性方程组：
（I）：$\left\{\begin{aligned} x_1+x_2-2 x_4 & =-6, \\ 4 x_1-x_2-x_3-x_4 & =1, \\ 3 x_1-x_2-x_3 & =3 ;\end{aligned}\right.$
（II）$:\left\{\begin{aligned} x_1+m x_2-x_3-x_4 & =-5, \\ n x_2-x_3-2 x_4 & =-11, \\ x_3-2 x_4 & =-t+1 .\end{aligned}\right.$
（1）求解方程组（I），用其导出组的基础解系表示其通解；
（2）当方程组中的参数 $m, n, t$ 为何值时，方程组（I）与（II）同解。