单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right)$, 则 $A$ 的特征向量可以是 ( )
$\text{A.}$ $\binom{1}{1}$.
$\text{B.}$ $\binom{2}{2}$.
$\text{C.}$ $\binom{0}{1}$.
$\text{D.}$ $\binom{1}{2}$.
已知 $A$ 为三阶方阵, 且有特征值 $\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=2$, 已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 是特征值 1 所对的特征向量, $\alpha_3$ 是特征值 2 所对的特征向量, 则下列选项正确的是:
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量.
$\text{B.}$ $\alpha _1+\alpha_3$ 是 $A$ 的特征向量.
$\text{C.}$ $k \alpha_3$ 是 $A$ 的特征向量.
$\text{D.}$ $\left\|\alpha_1\right\| \alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知三阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$, 求下列矩阵的行列式.
(1) $A^2$;
(2) $2 A +3 E$;
(3) $4 A ^{-1}- E$;
(4) $A ^*- A$.
已知三阶矩阵 $A$ 的主对角线元素之和为 -5 , 且 $A ^2+2 A -3 E = O$, 求 $A$ 的所有特征值.
已知三阶矩阵 $A$ 有 3 个不同的特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=3$, 对应特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, 记矩阵 $P =\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$, 试求 $P ^{-1} A P$.
已知三阶矩阵 $A , B$ 相似, $A $ 的特征值为 $ 1,2,3$, 求$|2 B - E |$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $A =\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求 $A$ 的所有特征值和特征向量.
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right)$, 求 $A$ 的所有特征值和特征向量.
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -4 & 5 & 1 \\ 4 & 0 & a\end{array}\right) 、 B =\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 相似, 求参数 $a 、 b$.
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 和对角矩阵相似, 求 $a$.
已知三阶对称阵 $A$ 的特佂值为 $\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=2$, 对应特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, 其中 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$, 求 $\alpha_3$ 并反求矩阵 $A$.
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$.
(1) 求可逆矩阵 $P$ 使 $P ^{-1} A P =\Lambda$;
(2) 求正交矩阵 $Q$ 使 $Q ^{ T } A Q =\Lambda$.