一、单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
1. 已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则（）
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
2. 设函数 $f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $x=0, x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点
$\text{B.}$ $x=0, x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类问断点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类问断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类问断点
3. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $d\left(\int f(x) d x\right)=$
$\text{A.}$ $f(x)$
$\text{B.}$ $f(x) d x$
$\text{C.}$ $f(x)+C$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x) d x$
4. 当 $x>0$ 时，曲线 $y=x \sin \frac{1}{x}$
$\text{A.}$ 有且只有水平渐近线
$\text{B.}$ 有且只有垂直渐近线
$\text{C.}$ 既有水平渐近线，也有垂直浙近线
$\text{D.}$ 无水平和垂直浙近线
5. 若 $M=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x d x, \quad P=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) d x, \quad N=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) d x$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ N $>M>P$
$\text{B.}$ $N>P>M$
$\text{C.}$ $M>P>N$
$\text{D.}$ $P>M>N$
6. 设常数 $k>0$ ，则 $f(x)=\ln x-\frac{x}{e}+k$ 在 $(0,+\infty)$ 内零点的个数为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
7. 直线 $y=x, x=2$ 与曲线 $y=\frac{1}{x}$ 所围成图形的面积为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}-\ln 2$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}-\ln 2$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}-\ln 3$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}-\ln 3$
8. 设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x \mid} \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
二、填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
9. 若 $f^{\prime}(3)=4$ ，则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3-h)-f(3)}{2 h}=$
10. 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\right)=$
11. 若 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1-a x^2\right)^{\frac{1}{4}}-1$ 与 $x \sin x$ 是等价无穷小，则 $a=$
12. 设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{t^2}{2} \\ y=1-t\end{array}\right.$ 确定，则 $\frac{d^2 y}{d x^2}=$
13. 由方程 $x y=e^{x+y}$ 确定的隐函数的导数 $\frac{d y}{d x}=$
14. 函数 $f(x)=x^3-5 x^2+3 x+5$ 的拐点坐标为
15. 心脏线 $r=a(1+\cos \theta), \theta \in[0,2 \pi](a>0)$ 的全长为
16. 广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{1+x^2}=$
三、解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{2 x+1}$
18. 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{\cos ^2 x}^1 \sqrt{1+t^2} d t}{e^{x^2}-1}$
19. 求由方程 $\arctan \frac{y}{x}=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ 所确定的函数 $y$ 的一阶导数．
20. 求不定积分 $\int \frac{1}{1+\sin x} d x$
21. 设 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1+x^2, x < 0 ; \\
e^{-x}, x \geq 0 \text { ．}
\end{array}\right. $
求 $ \int_1^3 f(x-2) d x$
22. 求函数 $f ( x )= x +\sqrt{ 1 - x },- 5 \leq x \leq 1$ 的最大值及最小值。
23. 求由曲线 $x ^2+( y - 5 )^2= 1 6$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体的体积．
24. 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导且 $f ( a )= f (b)= 0$ ．证明：对任意常数 $\lambda$ ，存在 $\xi \in(a, b)$ 使得
$$
\lambda f (\xi)+ f ^{\prime}(\xi)= 0 .
$$