单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
某餐馆在 A 网站有 200 条评价，好评率为 $90 \%$ ，在 $B$ 网站有 100 条评价，好评率为 $87 \%$ ．综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为
$\text{A.}$ $88 \%$
$\text{B.}$ $88.5 \%$
$\text{C.}$ $89 \%$
$\text{D.}$ $89.5 \%$
有 5 张奖券，其中 3 张可以中奖，现有 5 个人从中不放回地依次各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件 $A_i=$＂第 i 个人抽中中奖券＂，则下列结论正确的是（ ）
$\text{A.}$ 事件 $A_1$ 与 $A_2$ 互斥
$\text{B.}$ $P\left(A_2\right)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P\left(A_1 A_2\right)=\frac{3}{10}$
$\text{D.}$ $P\left(A_3 \mid A_2\right)=\frac{3}{5}$
设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为 $0.4 、 0.6$ ，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为 $0.7 、 0.9$ ，则甲正点到达目的地的概率为
$\text{A.}$ 0.78
$\text{B.}$ 0.8
$\text{C.}$ 0.82
$\text{D.}$ 0.84
已知有两箱书，第一箱中有 3 本故事书， 2 本科技书；第二箱中有 2 本故事书， 3 本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{10}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{12}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
有两个书架，第一个书架上有 4 本语文书， 6 本数学书，第二个书架上有 6 本语文书， 4 本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以 $A_1$ 和 $A_2$ 表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以 $B$ 表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（）
$\text{A.}$ 事件 $A_1$ 与事件 $B$ 相互独立
$\text{B.}$ $P\left(B \mid A_1\right)=\frac{7}{11}$
$\text{C.}$ $P(B)=\frac{32}{55}$
$\text{D.}$ $P\left(A_2 \mid B\right)=\frac{9}{16}$
有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 $5 \%$ ，第 2,3 台加工的次品率均为 $3 \%$ ，加工出来的零件混放在一起，第 $1,2,3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $15 \%, 25 \%, 60 \%$ ．随机取一个零件，记 $A=$＂零件为次品＂，$B_i=$＂零件为第 i 台车床加工＂$(i=1,2,3)$ ，下列结论正确的有
$\text{A.}$ $P(A)=0.03$
$\text{B.}$ $\sum_{i=1}^3 P\left(B_i\right)=1$
$\text{C.}$ $P\left(B_1 \mid A\right)=P\left(B_2 \mid A\right)$
$\text{D.}$ $P\left(B_1 \mid A\right)+P\left(B_2 \mid A\right)=P\left(B_3 \mid A\right)$
现有甲、乙两个箱子，甲中有 2 个红球， 2 个黑球， 6 个白球，乙中有 5 个红球和 4 个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以 $A_1, A_2, A_3$ 表示由甲箱中取出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $A_1, A_2, A_3$ 两两互斥．
$\text{B.}$ 根据上述抽法，从乙中取出的球是红球的概率为 $\frac{13}{25}$ ．
$\text{C.}$ 以 $B$ 表示由乙箱中取出的是红球的事件，则 $P\left(A_2 \mid B\right)=\frac{5}{26}$ ．
$\text{D.}$ 在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为 $\frac{13}{45}$ ．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在某地 $A 、 B 、 C$ 三个县区爆发了流感，这三个地区分别 $3 \%, 2 \%, 4 \%$ 的人患了流感．若 $A 、 B 、 C$ 三个县区的人数比分别为 4：3：3，先从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是
一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件 $A_i=$＂第 i 次命中目标＂$(i=1,2,3), \quad P\left(A_1\right)=\frac{1}{8}$ ， $P\left(A_{i+1} \mid A_i\right)=2 P\left(A_i\right), P\left(A_{i+1} \mid \bar{A}_i\right)=\frac{1}{8}(i=1,2)$ ，则 $P\left(A_3\right)=$
在二十大报告中，体育、健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标。某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取 3 局 2 胜制，每局都是单打模式，每队有 5 名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响。经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手 $M$ 对乙队每名队员的胜率均为 $\frac{3}{4}$ ，甲队其余 4 名队员对乙队每名队员的胜率均为 $\frac{1}{2}$ ．（注：比赛结果没有平局）
（1）求甲队最终 $2: 1$ 获胜且种子选手 $M$ 上场的概率；
（2）已知甲队 $2: 1$ 获得最终胜利，求种子选手 $M$ 上场的概率．
在问卷调查中，被采访人有可能出于隐私保护而不愿意如实填写问卷，导致调查数据失真。某校高三级调查学生对饭堂服务满意情况，为保护学生隐私并得到真实数据，采取如下＂随机化回答技术＂进行问卷调查：一个袋子中装有五个大小相同的小球，其中 2 个黑球， 3 个白球、高三级所有学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球。约定＂若两次摸到的球的颜色不同，则按方式 I 回答问卷，若相同则按方式 II 回答问卷＂．
方式 I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中答＂是＂，否则答＂否＂；
方式 II：若学生对饭堂服务满意，则在问卷中答＂是＂，否则答＂否＂．
当所有学生完成问卷调查后，统计答＂是＂，答＂否＂的比例，用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该校高三级学生对饭堂服务满意度的估计值．
（1）若某班有 50 名学生，用 $X$ 表示其中按方式 I 回答问卷的人数，求 $X$ 的数学期望；
（2）若该年级的所有调查问卷中，答＂是＂与答＂否＂的比例为 $2: 3$ ，试估计该年级学生对饭堂的满意度．（结果保留 3 位有效数字）
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 $1,2,3,4$ 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭。主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得。现有抽奖人甲选择了 2 号箱，在打开 2 号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子．
（1）计算主持人打开4号箱的概率；
（2）当主持人打开 4 号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选 2 号箱，还是改选 1 号或 3 号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 $6 \%$ ，第 2 ， 3 台加工的次品率均为 $5 \%$ ，加工出来的零件混放在一起，已知第 $1,2,3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $25 \%, 30 \%, 45 \%$ ．
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第 1 台车床所加工的概率（结果用分数表示）；
（3）参照第（2）问给出判断，求第 $1,2,3$ 台车床操作员对加工次品分别应承担的份额．