俞正光编著线性代数同步辅导2003版(标准正交基)

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一、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 试把

(1, 0, 1, 0)^{T}, (0, 1, 0, 2)^{T}

扩充成为

R^{4}

的一组标准正交基．

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2. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是欧几里得空间耶

^{3}

的一组基，已知内积关于基

α_{1}, α_{2}, α_{3}

的度量矩阵

G = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 3 \end{array})

试将

α_{1}, α_{2}, α_{3}

经施密特正交化化为标准正交基．

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3. 已知

R^{4}

中向量

α_{1} = (1, 1, 0, 0)^{T}, α_{2} = (0, 1, 1, 0)^{T}

生成子空间

W = L (α_{1}, α_{2})

．试在标准内积下，求正交补

W^{⊥}

的一组标准正交基．

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4. 设

e_{1}, e_{2}, e_{3}

是欧几里得空间

V

的一组标准正交基，试求把

e_{1}

变成

\frac{2}{3} e_{1} + \frac{2}{3} e_{2} - \frac{1}{3} e_{3}

，把

e_{2}

变成

\frac{2}{3} e_{1} - \frac{1}{3} e_{2} + \frac{2}{3} e_{3}

的正交变换。

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