解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A$ 为无限集，证明存在 $A$ 的一列互不相交的无限子集 $\left\{A_k\right\}$ ，使得
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A=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k .
$$
设 $A \subset \mathbb{R}$ 为由孤立点组成的点集．
（i）试证明 $A$ 为可数集；
（ii）试问 $A^{\prime}$ 是否一定为可数集？（肯定的回答请给予证明；否定的回答请举出反例）
试证明 $\mathbb{R}^n$ 中的任意非空开集均可表示为可列个闭方体的并集
设 $A, B \subset \mathbb{R}^n$ 为非空点集，试证明：
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d(A, B)=\inf _{x \in \mathbb{R}^n}[d(x, A)+d(x, B)]
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设 $E \subset \mathbb{R}$ 头正测集，试证明：存在 $x \in E$ 使得对于任意的 $\delta>0$ 使得
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m(E \cap(x-\delta, x+\delta))>0
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设 $E \subset \mathbb{R}$ 为可测集且 $0 < m(E) < \infty$ ，试证明：对于任意的 $\alpha \in\left(0, m^{\prime}(E)\right)$ ，存在无内点的有界闭集 $F \subset E$ 使得 $m(F)=\alpha$ ．
设 $E \subset \mathbb{R}^n$ 且 $m^*(E) < \infty$ ．试证明：存在 $G_\delta$ 型集 $H \supset E$ 使得对于任意的可测集 $A \subset \mathbb{R}^n$ ，
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m^*(E \cap A)=m(H \cap A) .
$$
设 $\mathbb{Q}$ 为 $\mathbb{R}$ 中的有理点集．对于任意的 $x, y \in \mathbb{R}$ 满足 $x-y \in \mathbb{Q}$ ，则记 $x \sim y$ ．根据这一等价关系＂$\sim$＂，将 $\mathbb{R}$ 中的点分类，在每个等价类中诜取一代表元于 $[0,1]$ ，组成的点集记为 $V$ ．任取 $r \in \mathbb{Q}$ ，试证明：$V \cup(V+\{r\})$ 仍为不可测集．