【31411】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．

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【31410】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 求极限： $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\cos 2 x}{x^2}$ ．

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【31409】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 设函数 $y=y(x)$ 是由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_0^t 2 e^{-s^2} d s \\ y=\int_0^t \cos s^2 d s\end{array}\right.$ 所确定，求：$\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=\sqrt{\pi}}$ ．

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【31408】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 设 $y=y(x)$ 是由方程 $x^2+y=\tan (x-y)$ 所确定，且 $y(0)=0$ ，求：$y(0)$ 和 $(0)$ ．

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【31407】 【 《高等数学》学业水平基础测试模拟考试测试卷第一套】 解答题 设 $u=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 且二阶连续可导，又 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=2$ 且 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ ，求 $f(x)$ ．

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【31406】 【 《高等数学》学业水平基础测试模拟考试测试卷第一套】 解答题 计算二重积分 $$ I=\int_0^a \mathrm{~d} x \int_{-x}^{-a+\sqrt{a^2-x^2}} \frac{\mathrm{~d} y}{\sqrt{x^2+y^2} \sqrt{4 a^2-\left(x^2+y^2\right)}}(a>0) $$

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【31405】 【 《高等数学》学业水平基础测试模拟考试测试卷第一套】 解答题 设区域 $D$ 是由 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 与 $x$ 轴围成的区域． （I）求区域 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积； （II）求区域 $D$ 绕直线 $x=3$ 旋转一周所得旋转体的体积．

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【31404】 【 《高等数学》学业水平基础测试模拟考试测试卷第一套】 解答题 试证 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ，并由此计算 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^2 x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ．

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【31403】 【 《高等数学》学业水平基础测试模拟考试测试卷第一套】 解答题 设 $a_n=\int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x(n=1,2,3, \cdots)$ ． （I）证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递减，且 $a_n=\frac{n-1}{n+2} a_{n-2}(n=2,3, \cdots)$ ； （II）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$ ．

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【31402】 【 《高等数学》学业水平基础测试模拟考试测试卷第一套】 解答题 设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1}+a x^2+b x}{x^{2 n}+1}$ 是连续函数，求 $a, b$ ．

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