【31421】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 设 $f(x)=-\cos \pi x+(2 x-3)^3+\frac{1}{2}(x-1)$ ，试讨论并证明方程 $f(x)=0$ 根的个数．

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【31420】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 证明如下＂$\frac{0}{0}$＂型的 $L^{\prime}$ Hospital 法则： 设（1） $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=0$ ； （2）$f(x) 、 g(x)$ 在去心领域 $\dot{U}\left(x_0\right)$ 内可导，且 $g(x) \neq 0$ ． （3） $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A$（或 $\infty$ ）．则： $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A$ ． 请举例说明当条件（3）不成立，但 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ 存在，即不能用 L＇Hospital 法则

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【31419】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 曲线 $y^2=x+2$ 与纸在线 $y=x$ 所围区域绕直线 $x=2$ 旋转一周的体积．

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【31418】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 设常数 $a>0, f(x)=\frac{1}{3} a x^3-x$ ，试求 $f(x)$ 在 $0, \frac{1}{a}$ 上的最大值和最小值

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【31417】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 求幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n 4^n}{(2 n+1)(2 n+2)} x^{2 n+2}$ 的收敛半径、收敛域；并计算其和函数．

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【31416】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 设常数 $\alpha>0$ ，试判断级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^{1+2 \alpha}}$ 的敛散性．

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【31415】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 证明：当 $0 \leq x<+\infty$ 时， $\arctan 3 x \leq \ln (1+4 x)$ ，且仅当 $x=0$ 时等号成立

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【31414】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 $\int_{-1}^1(2+x)^2\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}} d x$

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【31413】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 $ \int_1^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^2} d x $

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【31412】 【 浙江大学《微积分》第一学期期末考试试卷】 解答题 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{1}{x^2}\right)$ ．

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