【32138】 【 浙江大学2024-2025秋冬学期微积分 ( 甲 )I 期末模拟试题分析与解答】 解答题 设 $(1+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{3} b_n\left(a_n, b_n \in \mathbb{N}^{+}\right)$ （1）证明：$a_{n+1}=a_n+3 b_n, b_{n+1}=a_n+b_n$ （2）求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_n}{b_n}$

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【32137】 【 浙江大学2024-2025秋冬学期微积分 ( 甲 )I 期末模拟试题分析与解答】 解答题 设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} e^{-x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴围成，$D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$ ，求 $V(t)$ 的最大值。

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【32136】 【 浙江大学2024-2025秋冬学期微积分 ( 甲 )I 期末模拟试题分析与解答】 解答题 设 $f(x)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$ ，其反函数记作 $f^{-1}(x)$ ，求 $\int_0^{+\infty} f^{-1}(x) \mathrm{d} x$

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【32135】 【 浙江大学2024-2025秋冬学期微积分 ( 甲 )I 期末模拟试题分析与解答】 解答题 求曲线 $f(x)$ 的弧长 $$ f(x)=\int_{-\sqrt{3}}^x \sqrt{3-t^2} d t $$

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【32134】 【 浙江大学2024-2025秋冬学期微积分 ( 甲 )I 期末模拟试题分析与解答】 解答题 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^4} \prod_{k=1}^{2 n}\left(n^2+k^2\right)^{\frac{1}{n}} $$

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【32133】 【 浙江大学2024-2025秋冬学期微积分 ( 甲 )I 期末模拟试题分析与解答】 解答题 $$ \int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x $$

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【32132】 【 浙江大学2024-2025秋冬学期微积分 ( 甲 )I 期末模拟试题分析与解答】 解答题 设 $f(x)=\int_0^x \cos (x-t)^2 \mathrm{~d} t, \varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x-\sin x}{x-\ln (1+x)}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f(\varphi(x))\right|_{x=0}$

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【32131】 【 浙江大学2024-2025秋冬学期微积分 ( 甲 )I 期末模拟试题分析与解答】 解答题 设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^3 \\ y=e^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，求下面的极限： $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left[f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right] $$

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【32130】 【 浙江大学2024-2025秋冬学期微积分 ( 甲 )I 期末模拟试题分析与解答】 解答题 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$

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【32128】 【 郑州大学《概率论与数理统计A》期末考试试卷】 解答题 设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 取自总体 $X \sim N\left(1, \sigma^2\right)$ ，其中 $\sigma^2>0$ 未知参数． （1）求 $\sigma^2$ 的极大似然估计 $\hat{\sigma_1{ }^2}$ ； （2）$\sigma^2$ 的另一个估计量是 $\hat{\sigma_2^2}=S^2$ ，其中 $S^2$ 是样本方差试证明：$\hat{\sigma_1^2}, \hat{\sigma_2^2}$ 均是 $\sigma^2$的无偏估计，并对比 $\hat{\sigma_1^2}, \hat{\sigma_2^2}$ 的有效性．

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