【32449】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} 2 x^3 d y d z+2 y^3 d z d x+3\left(z^2-1\right) d x d y$ ，其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ 的上侧．

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【32448】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 计算曲线积分 $\int_L\left(e^x \sin y-m\right) d x+\left(e^x \cos y-m x\right) d y$ ，其中 $m$ 为常数，$L$ 为由点 $A(a, 0)$ 至原点 $O(0,0)$的上半圆周 $x^2+y^2=a x(a>0)$

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【32447】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求此椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

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【32446】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} \frac{d S}{z}$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $z=h(0<h<a)$ 截出的顶部

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【32445】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+\sin y$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

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【32444】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln \frac{n+1}{n}$ 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

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【32443】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 求由曲面 $z=2 x^2+2 y^2$ 及 $z=6-x^2-y^2$ 所围成的立体体积

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【32442】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+3 y^2+z^2=9 \\ z^2=3 x^2+y^2\end{array}\right.$ 在点 $M_0(1,-1,2)$ 处的切线及法平面方程．

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【32441】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=1$ ，试证： （1）存在 $\xi \in[0,1]$ ，使得 $|f(\xi)| \geq 4$ ； （2）若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，则存在 $\eta \in(0,1)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\eta)\right| \geq 4$ ．

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【32440】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，利用定义证明函数 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，且 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ． $$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} F(x+\Delta x)-F(x)=\lim _{\Delta x n \rightarrow 0} \frac{\int_x^{x+\Delta x} f(t) d t}{\Delta x}, $$

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