【32459】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 非化工类做）设函数 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期，它在 $[-\pi, \pi]$ 上的表 达式为 $f(x)\left\{\begin{array}{l}1,0<x<\pi \\ 0, x=0, \pm \pi \\ -1,-\pi<x<0\end{array}\right.$ ，求 $f(x)$ 的 Fourier 级数及其和函数在 $x=-\pi$ 处的值

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【32458】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 （非化工类做，本题 7 分）求幂级数 $x-\frac{1}{3} x^3+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots$ 的收敛域及其和函数

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【32457】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 计算曲线积分 $\int_L\left(1+x \mathrm{e}^{2 y}\right) \mathrm{d} x+\left(x^2 \mathrm{e}^{2 y}-1\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为 $(x-2)^2+y^2=4$ 在第一象限内逆时针方向的半圆弧．

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【32456】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 求曲面 $S: \frac{x^2}{2}+y^2+\frac{z^2}{4}=1$ 到平面 $\pi: 2 x+2 y+z+5=0$ 的最短距离．

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【32455】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 计算曲面积分 $$ \oint_{\Sigma}\left(x y^2 \cos \alpha+y x^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{dS}, $$ 其中 $\Sigma$ 是球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 2 z$ 与锥体 $z \geq \sqrt{x^2+y^2}$ 的公共部分 $\Omega$ 的表面， $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是其外法线方向的方向余弦．

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【32454】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 设函数 $f(u)$ 有二阶连续导数，而函数 $z=f\left(\mathrm{e}^x \sin y\right)$ 满足方程 $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=z \mathrm{e}^{2 x} $$ 试求出函数 $f(u)$

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【32453】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 求微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0$ 的解，使得该解所表示的曲线在点 $(0,2)$ 处与直线 $2 x-2 y+4=0$ 相切．

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【32452】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 求通过直线 $L:\left\{\begin{array}{c}x+y=0 \\ x-y+z-2=0\end{array}\right.$ 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线 $L_1: x=y=z$

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【32451】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 证明题 设函数 $f(x)$ 连续且恒大于零，$F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^2+y^2+z^2\right) d v}{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) d \sigma}, G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) d \sigma}{\int_{-t}^t f\left(x^2\right) d x}$ ，其中 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq t^2\right\}, \quad D(t)=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq t^2\right\} ;$ 证明：当 $t>0$ 时，$F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．

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【32450】 【 华南理工大学高等数学上期末考试】 解答题 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{3^n \cdot n}$ 的收敛域及和函数．

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