【32714】 【 大连理工大学《线性代数与解析几何》期末考试试卷】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵，$r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{u}_1=[2,1,1]^T$ 和 $\boldsymbol{u}_2=[1,0,0]^T$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个解，则方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为

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【32713】 【 大连理工大学《线性代数与解析几何》期末考试试卷】 填空题 设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{-1}=$

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【32712】 【 大连理工大学《线性代数与解析几何》期末考试试卷】 填空题 设 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ 都是三元列向量， $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{a}_2,-\boldsymbol{a}_1\right],|\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=$

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【32711】 【 大连理工大学《线性代数与解析几何》期末考试试卷】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵，$|\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^*+3 \boldsymbol{A}^{-1}\right|=$

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【32710】 【 大连理工大学《线性代数与解析几何》期末考试试卷】 填空题 设 $\boldsymbol{a}=[1,4,3]^T, \boldsymbol{b}=[1,-1,2]^T$ ，则 $\left(\boldsymbol{a b}^T\right)^{100}=$

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【32709】 【 2025-2026学年 北京市东城区东直门中学高二(上)月考数学试卷（10月份）】 解答题 2025年8月21日，DeepSeek 在官方公众号发文称，正式发布 DeepSeek－V3． 1 模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对 A，B 两部门开展专项技能培训。 （1）已知该公司 $A, B$ 两部门分别有 3 位领导，此次培训需要从这 6 位领导中随机选取 2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由 A，B 两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到＂优秀＂的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到＂优秀＂才算合格，求甲培训合格的概率

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【32708】 【 2025-2026学年 北京市东城区东直门中学高二(上)月考数学试卷（10月份）】 解答题 空间直角坐标系 $O-x y z$ 中，任何一个平面的方程都能表示成 $A x+B y+C z+D=0$（其中 $A, B, C, D \in \left.R A^2+B^2+C^2 \neq 0\right)$ ，且 $\vec{n}=(A, B, C)$ 为该平面的法向量． （1）若平面 $\alpha: x+y+z=2, \beta: m x+y+z=2$ ，且 $\alpha \perp \beta$ ，求实数 $m$ 的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点 $P\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 到平面 $A x+B y+C z+D=0$ 的距离为 $d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ ，若记集合 $Q=\{(x, y, z)| | x|+|y|+|z|=2\}$ 所围成的几何体为 $U$ ，求 $U$ 的内切球的表面积； （3）记集合 $T=\{(x, y, z)| | x|+|y| \leq 2,|y|+|z| \leq 2,|z|+|x| \leq 2\}$ 中所有点构成的几何体为 $W$ ． ① 求 $W$ 的体积 $V$ 的值； ② 求 $W$ 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小．

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【32707】 【 2025-2026学年 北京市东城区东直门中学高二(上)月考数学试卷（10月份）】 解答题 如图1所示，在等腰梯形 $A B C D, B C \| A D, C E \perp A D$ ，垂足为 $E, A D=3 B C= 3, E C=1$ ．将 $\triangle D E C$ 沿 $E C$ 折起到 $\triangle D_1 E C$ 的位置，使平面 $\triangle D_1 E C \perp$ 平面 $A B C E$ ，如图2所示，点 $G$ 为棱 $A D_1$上一个动点． （I）当点 $G$ 为棱 $A D_1$ 中点时，求证：$B G$ ॥平面 $D_1 E C$ ； （II）求证：$A B \perp$ 平面 $D_1 B E$ ； （III）是否存在点 $G$ ，使得二面角 $G-B E-D_1$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ？若存在，求出 $A G$ 的长；若不存在，请说明理由． [img=/uploads/2025-10/b92844.jpg][/img]

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【32706】 【 2025-2026学年 北京市东城区东直门中学高二(上)月考数学试卷（10月份）】 解答题 如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D, Q$ 为棱 $P D$ 的中点，$P A \perp A D, P A=A B=2$ ． （I）求证：$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ； （II）求平面 $A C Q$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值； （III）求直线 $P B$ 到平面 $A C Q$ 的距离． [img=/uploads/2025-10/b89034.jpg][/img]

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【32705】 【 2025-2026学年 北京市东城区东直门中学高二(上)月考数学试卷（10月份）】 解答题 在 $\triangle A B C$ 中，$a \cos C+c \cos A=2 b \cos B$ ． （I）求 $\angle B$ ； （ II ）再从条件（1）、条件（2）、条件（3）这三个条件中选择一个作为已知，使得 $\triangle A B C$ 唯一存在，求 $\triangle A B C$ 的面积． 条件（1）：$a=8, b=6$ ； 条件（2）：$a=8, \cos A=-\frac{1}{7}$ ； 条件（3）：$c \sin B=\frac{3 \sqrt{3}}{2}, \quad b=7$ ． 注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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