如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D, Q$ 为棱 $P D$ 的中点，$P A \perp A D, P A=A B=2$ ．
（I）求证：$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ；
（II）求平面 $A C Q$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值；
（III）求直线 $P B$ 到平面 $A C Q$ 的距离．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$