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2025-2026学年 北京市东城区东直门中学高二(上)月考数学试卷（10月份）

发布日期 2025/10/16 14:45:29      查看 2      加入组卷      查看作者     
单选题
已知点 $A(-3,1,-4)$ ，则点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标为
$\text{A.}$ $(-3,-1,4)$ $\text{B.}$ $(-3,-1,-4)$ $\text{C.}$ $(3,1,4)$ $\text{D.}$ $\quad(3,-1,-4)$
已知向量 $\vec{a}=(2,-1,3), \vec{b}=(4, x, y)$ ，且 $\vec{a} \| \vec{b}$ ，则 $x+y=(\quad)$

$\text{A.}$ -4 $\text{B.}$ -2 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 2
已知空间向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，且 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}+2 \vec{b}, \overrightarrow{B C}=-5 \vec{a}+6 \vec{b}, \overrightarrow{C D}=7 \vec{a}-2 \vec{b}$ ，则一定共线的三点是
$\text{A.}$ A、B、C $\text{B.}$ B、C、D $\text{C.}$ A 、 B 、 D $\text{D.}$ A、C、D
如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}, \overrightarrow{C Q}=2 \overrightarrow{Q B}, P$ 为线段 $O A$ 的中点，则 $\overrightarrow{P Q}$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{3} \vec{b}+\frac{2}{3} \vec{c}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{2} \vec{a}-\frac{1}{3} \vec{b}-\frac{2}{3} \vec{c}$ $\text{C.}$ $-\frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{3} \vec{b}+\frac{2}{3} \vec{c}$ $\text{D.}$ $-\frac{1}{2} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}+\frac{1}{3} \vec{c}$
直线 $l$ 过圆 $C:(x+3)^2+y^2=4$ 的圆心，并且与直线 $x+y+2=0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为

$\text{A.}$ $x+y-2=0$ $\text{B.}$ $x-y+2=0$ $\text{C.}$ $x+y-3=0$ $\text{D.}$ $x-y+3=0$
已知半径为 1 的圆经过点 $(3,4)$ ，则其圆心到原点的距离的最小值为

$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 5 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 7
已知点 $A(1,3), B(-2,-1)$ ，若直线 $l: y=k(x-2)+1$ 与线段 $A B$ 相交，则 $k$ 的取值范围（ ）

$\text{A.}$ $k \geq \frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $k \leq-2$ $\text{C.}$ $k \geq \frac{1}{2}$ 或 $k \leq-2$ $\text{D.}$ $-2 \leq k \leq \frac{1}{2}$
设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m}$ ，那么＂$ < \vec{m}, \vec{n}>=60^{\circ}$＂是＂直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 夹角为 3 $0^{\circ}$＂的

$\text{A.}$ 充分而不必要条件 $\text{B.}$ 必要而不充分条件 $\text{C.}$ 充分必要条件 $\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知直线 $l_1: a x-3 y+12=0, l_2: x+(a-4) y+4=0$ ，若 $l_1// l_2$ ，则实数 $a=$

$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ 1或 0 $\text{D.}$ 1或3
在平面直角坐标系中，记 $d$ 为点 $P(\cos \theta, \sin \theta)$ 到直线 $x-m y-2=0$ 的距离．当 $\theta 、 m$ 变化时，$d$ 的最大值为（ ）

$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ 4
设集合 $A=\{(x, y) \mid x-y \geq 0, a x+y \geq 2, x-a y \leq 2\}$ ，则（ ）

$\text{A.}$ 当 $a=1$ 时，$(1,1) \notin A$ $\text{B.}$ 对任意实数 $a,(1,1) \in A$ $\text{C.}$ 当 $a < 0$ 时，$(1,1) \notin A$ $\text{D.}$ 对任意实数 $a,(1,1) \notin A$
在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，$V A, V B, V C$ 两两垂直，$V A=V B =V C=1$（单位：$d m$ ），小明同学计划通过侧面 $V A C$ 内任意一点 $P$ 将木块锯开，使截面平行于直线 $V B$ 和 $A C$ ，则该截面面积（单位： $\mathrm{dm}^2$ ）的最大值是
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ $\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ $\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
填空题
已知平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}=(1,2,-2)$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}=(-2, m, 4)$ ，且 $l \perp \alpha$ ，则实数 $m=$
已知直线 $l$ 经过点 $P(2,3)$ ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 $l$ 的方程为
若两条平行直线 $A x-2 y-1=0$ 与 $6 x-4 y+C=0$ 之间的距离为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ ，则 $C=$
在 $\triangle A B C$ 中，$A B=2, \angle B A C=60^{\circ}, B C=\sqrt{6}, D$ 为 $B C$ 上一点，$A D$ 为 $\angle B A C$ 的平分线，则 $A D=$
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B A C=\frac{\pi}{3}, \overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{D B}, P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\overrightarrow{A P}=m \overrightarrow{A C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}(m \in R)$ ，若 $A C=2, A B=4$ ，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{C D}$ 的值为
如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$M, N$ 分别是棱 $A_1 B_1, A_1 D_1$ 的中点，点 $P$ 在线段 $C M$ 上运动，给出下列四个结论：
（1）平面 $C M N$ 截正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 所得的截面图形是五边形；
（2）直线 $B_1 D_1$ 到平面 $C M N$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；
（3）存在点 $P$ ，使得 $\angle B_1 P D_1=90^{\circ}$ ；
（4）$\triangle P D D_1$ 面积的最小值是 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$ ．
其中所有正确结论的序号是
解答题
已知直线 $x+m y-2 m-1=0$ 恒过定点 $A$ ．
（1）若直线 $l$ 经过点 $A$ 且与直线 $2 x+y-5=0$ 垂直，求直线 $l$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 经过点 $A$ 且坐标原点到直线 $l$ 的距离等于 1 ，求直线 $l$ 的方程．
在 $\triangle A B C$ 中，$a \cos C+c \cos A=2 b \cos B$ ．
（I）求 $\angle B$ ；
（ II ）再从条件（1）、条件（2）、条件（3）这三个条件中选择一个作为已知，使得 $\triangle A B C$ 唯一存在，求 $\triangle A B C$ 的面积．
条件（1）：$a=8, b=6$ ；
条件（2）：$a=8, \cos A=-\frac{1}{7}$ ；
条件（3）：$c \sin B=\frac{3 \sqrt{3}}{2}, \quad b=7$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D, Q$ 为棱 $P D$ 的中点，$P A \perp A D, P A=A B=2$ ．
（I）求证：$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ；
（II）求平面 $A C Q$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值；
（III）求直线 $P B$ 到平面 $A C Q$ 的距离．
如图1所示，在等腰梯形 $A B C D, B C \| A D, C E \perp A D$ ，垂足为 $E, A D=3 B C= 3, E C=1$ ．将 $\triangle D E C$ 沿 $E C$ 折起到 $\triangle D_1 E C$ 的位置，使平面 $\triangle D_1 E C \perp$ 平面 $A B C E$ ，如图2所示，点 $G$ 为棱 $A D_1$上一个动点．
（I）当点 $G$ 为棱 $A D_1$ 中点时，求证：$B G$ ॥平面 $D_1 E C$ ；
（II）求证：$A B \perp$ 平面 $D_1 B E$ ；
（III）是否存在点 $G$ ，使得二面角 $G-B E-D_1$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ？若存在，求出 $A G$ 的长；若不存在，请说明理由．
空间直角坐标系 $O-x y z$ 中，任何一个平面的方程都能表示成 $A x+B y+C z+D=0$（其中 $A, B, C, D \in \left.R A^2+B^2+C^2 \neq 0\right)$ ，且 $\vec{n}=(A, B, C)$ 为该平面的法向量．
（1）若平面 $\alpha: x+y+z=2, \beta: m x+y+z=2$ ，且 $\alpha \perp \beta$ ，求实数 $m$ 的值；
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点 $P\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 到平面 $A x+B y+C z+D=0$ 的距离为 $d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ ，若记集合 $Q=\{(x, y, z)| | x|+|y|+|z|=2\}$ 所围成的几何体为 $U$ ，求 $U$ 的内切球的表面积；
（3）记集合 $T=\{(x, y, z)| | x|+|y| \leq 2,|y|+|z| \leq 2,|z|+|x| \leq 2\}$ 中所有点构成的几何体为 $W$ ．
① 求 $W$ 的体积 $V$ 的值；
② 求 $W$ 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小．
2025年8月21日，DeepSeek 在官方公众号发文称，正式发布 DeepSeek－V3． 1 模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对 A，B 两部门开展专项技能培训。
（1）已知该公司 $A, B$ 两部门分别有 3 位领导，此次培训需要从这 6 位领导中随机选取 2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由 A，B 两部门的领导分别负责一天的概率；
（2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到＂优秀＂的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到＂优秀＂才算合格，求甲培训合格的概率

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