如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B A C=\frac{\pi}{3}, \overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{D B}, P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\overrightarrow{A P}=m \overrightarrow{A C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}(m \in R)$ ，若 $A C=2, A B=4$ ，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{C D}$ 的值为
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$