【32814】 【 湖南省名校联考联合体2025年上学期高一10月联考数学试题及答案 ​​​】 单选题 已知 $a>0$ ，则 $a+\frac{1}{a}+3$ 的最小值为

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【32813】 【 湖南省名校联考联合体2025年上学期高一10月联考数学试题及答案 ​​​】 单选题 已知集合 $A=\{-2,1,2\}, B=\{1,2,4\}, C=\{x \mid x \in A$ ，且 $x \notin B\}$ ，则 $C=$

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【32812】 【 湖南省名校联考联合体2025年上学期高一10月联考数学试题及答案 ​​​】 单选题 已知 $p:-1<x<5, q: 0<x<3$ ，则 $p$ 是 $q$ 的

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【32811】 【 湖南省名校联考联合体2025年上学期高一10月联考数学试题及答案 ​​​】 单选题 已知全集 $U=\{1,2,3,4\}$ ，集合 $A=\{1,3\}$ ，则 $\complement_U A=$

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【32810】 【 湖南省名校联考联合体2025年上学期高一10月联考数学试题及答案 ​​​】 单选题 已知命题 $p: \exists x \in \mathbf{N}, x^2>3 x-2$ ，则命题 $p$ 的否定为

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【32809】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 解答题 设 $\varphi, \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 V 上线性变换，且 $r(\varphi)+r(\sigma) \leq n$ 。证明：存在 V 上可逆变换 $\tau$ ，使 得 $\varphi \tau \sigma=0$.

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【32808】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 解答题 设 V 是数域 K 上 $n$ 维线性空间，$\varphi, \sigma$ 是 V 上线性变换，且 $\varphi^2=0, \sigma^2=0$ ， $\varphi \sigma+\sigma \varphi=i d_{\mathrm{V}}$ ，其中 $i d_{\mathrm{V}}$ 是 V 上恒等变换。求证： （1） $\mathrm{V}=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \sigma$ ； （2）V必是偶数维线性空间。

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【32807】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 解答题 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵且 $r(A)=r$ 。求证 $A^2=A$ 的充要条件是存在 $n \times r$ 矩阵 $S$ 和 $r \times n$ 矩阵 $T$ ，使得 $A=S T, T S=I_r, r(S)=r(T)=r$ 。

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【32806】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 解答题 设 $\varphi$ 是数域 K 上 $n$ 维线性空间 V 的线性变换，$\alpha$ 是 V 中一个向量，且满足 $\varphi^{n-1}(\alpha) \neq 0$ ， $\varphi^n(\alpha)=0$ 。证明：$\alpha, \varphi(\alpha), \ldots, \varphi^{n-1}(\alpha)$ 是 V 的一组基，并求 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵。

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【32805】 【 厦门大学2010《高等代数A》期末考试】 解答题 设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系。问下列向量组 $\alpha_1+2 \alpha_2+\alpha_3, 2 \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ 是否也是齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系？为什么？

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