【32854】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 单选题 二次根式除法可以这样做，如 $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=7+4 \sqrt{3}$ ，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：（1）将式子 $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ 进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以 $\sqrt{2}+\sqrt{5}$ ；（2）若 $a$是 $\sqrt{2}$ 的小数部分，则 $\frac{3}{a}$ 的值为 $\sqrt{2}+1$ ；（3）比较两个二次根式的大小：$\frac{1}{\sqrt{5}-2}>\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ ； 计算：$\frac{2}{1+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\ldots+\frac{2}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}=3 \sqrt{11}-1$ ； （5）若 $x=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}, y=\frac{1}{x}$ ，且 $19 x^2+123 x y+19 y^2=1985$ ，则整数 $n=2$ ．以上结论正确的是

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【32853】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 单选题 $\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{98}+10}=$

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【32852】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 单选题 将 $\frac{9}{4-\sqrt{7}}$ 化简为 $a+b \sqrt{7}$ ，其中 $a 、 b$ 为整数，求 $a+b$ 之值为何？

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【32851】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 单选题 若 $a=\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{11}}, b=\sqrt{10}-\sqrt{11}$ ，则 $a$ 与 $b$ 的关系是

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【32850】 【 2026年全国硕士研究生招生考试模拟试卷(数学一)】 解答题 设总体 $X \sim N\left(\alpha+\beta, \sigma^2\right), Y \sim N\left(\alpha-\beta, \sigma^2\right), X$ 和 $Y$ 相互独立． （1）若 $\alpha, \beta$ 末知，$\sigma^2$ 已知，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别是总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，试求 $\alpha, \beta$ 的矩估计量和最大似然估计量． （2）求（1）中矩估计量及最大似然估计量的数学期望和方差． （3）当 $\alpha, \beta, \sigma^2$ 为何值时，可使 $(X+Y)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布？

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【32849】 【 2026年全国硕士研究生招生考试模拟试卷(数学一)】 解答题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_3\right)^2+\left(x_1+2 x_2+a x_3\right)^2+\left(x_1-a x_2-2 x_3\right)^2$ ． （1）求方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解． （2）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形． （3）当 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 有非零解时，确定常数 $a$ ，使矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 为正定矩阵，并求二次型 $g(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 在 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 下的最大值．

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【32848】 【 2026年全国硕士研究生招生考试模拟试卷(数学一)】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，而且对任何 $x \in(0,1)$ ，有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．求证：对任何正整数 $n$ ，有 $$ \left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{n}, $$ 其中 $M$ 是一个与 $x$ 无关的常数．

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【32847】 【 2026年全国硕士研究生招生考试模拟试卷(数学一)】 解答题 在椭球面 $2 x^2+2 y^2+z^2=1$ 上求一点，使函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 在该点沿方向 $l=(1$ ， $-1,0)$ 的方向导数最大，并求出这个最大值．

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【32846】 【 2026年全国硕士研究生招生考试模拟试卷(数学一)】 解答题 已知曲线 $y=f(x)$ 是微分方程 $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=(4-6 x) \mathrm{e}^{-x}$ 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0 ．试求： （1）当 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 到 $x$ 轴的最大距离． （2） $\int_0^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ．

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【32845】 【 2026年全国硕士研究生招生考试模拟试卷(数学一)】 解答题 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．

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