【35226】 【 2024新东方数学直通车入门教材-多维随机变量与分布】 解答题 假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，如果 $X$ 服从标准正态分布，$Y$ 的概率分布为 $$ P\{Y=-1\}=\frac{1}{4}, \quad P\{Y=1\}=\frac{3}{4} $$ 求 $Z=X Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$

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【35225】 【 2024新东方数学直通车入门教材-多维随机变量与分布】 解答题 设随机变量 $X, Y$ 相互独立，其概率密度函数分别为 $$ f_X(x)=\left\{\begin{array}{l} 1,0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text { 其他 } \end{array}, f_Y(y)=\left\{\begin{array}{l} e^{-y}, y>0 \\ 0, y \leq 0 . \end{array}\right.\right. $$ 求随机变量 $Z=2 X+Y$ 的概率密度函数．

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【35224】 【 2024新东方数学直通车入门教材-多维随机变量与分布】 解答题 设随机变量 $X \sim\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & \frac{3}{8}\end{array}\right], Y \sim\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{2} & \frac{1}{8}\end{array}\right]$ ，且 $P\{|X| \neq|Y|\}=1$ ． （I）求 $X$ 与 $Y$ 的联合分布律，并讨论 $X$ 与 $Y$ 的独立性； （II）令 $U=X+Y, V=X-Y$ 讨论 $U$ 与 $V$ 的独立性．

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【35223】 【 2024新东方数学直通车入门教材-多维随机变量与分布】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为： $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} c y(1-x-y), & x>0, y>0, x+y<1 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right. $$ 求（1）常数 $c$ ； （2）条件：密度函数 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．

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【35222】 【 2024新东方数学直通车入门教材-多维随机变量与分布】 解答题 设 $G$ 是平面上的有界区域，其面积 $A$ ．若二维随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{A}, & (x, y) \in G \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$ 则称 $(X, Y)$ 在 $G$ 上服从均匀分布．现设二维随机变量在圆域 $x^2+y^2 \leq 1$ 上服从均匀分布，求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．

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【35221】 【 2024新东方数学直通车入门教材-多维随机变量与分布】 解答题 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 具有联合概率密度 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}6, & x^2 \leq y \leq x \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ ，求边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ ．

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【35220】 【 2024新东方数学直通车入门教材-多维随机变量与分布】 解答题 已知随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为 $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} e^{-y}, & 0<x<y \\ 0, & \text { 其它 } \end{array}\right. $$ （1）求 $(X, Y)$ 的联合分价函数 （2）求 $P\{X+Y \leq 1\}$

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【35219】 【 2024新东方数学直通车入门教材-多维随机变量与分布】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度 $f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-(2 x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$ （1）求分布函数 $F(x, y)$ ； （2）求概率 $P\{Y \leq X\}$ ．

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【35218】 【 2024新东方数学直通车入门教材-多维随机变量与分布】 解答题 设二维离散型随机变量只取 $(-1,-1),(-1,0),(1,-1),(1,1)$ 四个值，其相应概率 分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}$ ． （1）求 $(X, Y)$ 的联合概率分布； （2）求关于 $X$ 与关于 $Y$ 的边缘概率分布； （3）求在 $Y=1$ 条件下关于 $X$ 的条件分布与在 $X=1$ 条件下关于 $Y$ 的条件分布．

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【35217】 【 2024新东方数学直通车入门教材-多维随机变量与分布】 解答题 $(X, Y)$ 的联合分布律为 [img=/uploads/2025-12/9f51e5.jpg][/img] 已知 $P\{Y \leq 0 \mid X<2\}=0.5$ （1）$a$ 利 $b$ 的值； （2）在 $X=2$ 条俶下 $Y$ 的条件分布律；

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