【39224】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$ ，其中 $$ D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}\right\} . $$

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【39223】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$ 确定，求 $z=z(x, y)$ 的极值。

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【39222】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 $(a>0)$ ，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，求证：存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ．

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【39221】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 设有抛物线 $\Gamma: y=a-b x^2(a>0, b>0)$ ，试确定常数 $a, b$ 的值，使得 （1）$\Gamma$ 与直线 $y=x+1$ 相切； （2）$\Gamma$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积最大．

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【39220】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 设 $f(x)=\int_1^{x^2} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x$

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【39219】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt[3]{1+2 \sin ^2 x}}{\tan ^2 x}$ ．

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【39218】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 填空题 由曲线 $y=\sin x, y=\cos x(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 与直线 $x=0, x=\pi$ 所围成的平面图形的面积为

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【39217】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 填空题 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2^2}+\cdots+\sqrt{n^2-(n-1)^2}\right)=$

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【39216】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 填空题 函数 $f(x)=x^2 \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)(n \geqslant 3)=$

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【39215】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 填空题 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2-x}}=$

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