【36955】 【 《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套】 解答题 设 $F(u, v)$ 具有连续的偏导数，且 $F_u(1,2)=F_v(1,2) \neq 0$ ．若 $z=z(x$ ， y）是由方程 $F\left(x+2 y, x^2 y z\right)=0$ 确定的隐函数，满足 $z(-1,1)=2$ ，求梯度 $\left.\operatorname{grad} z\right|_{(-1,1)}$.

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【36954】 【 《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套】 填空题 设 $f(x)=x^{12} \mathrm{e}^{-3 x^2}$ ，则 $f^{(2012)}(0)=$ $\_\_\_\_$ （答案中用阶乘数＂$k$ ！＂表示）

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【36953】 【 《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套】 填空题 设 $\Sigma$ 为球面：$x^2+y^2+z^2=1$ ，则第一类曲面积分 $\iint_{\Sigma} x(4 x-z) \mathrm{d} S=$

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【36952】 【 《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套】 填空题 微分方程 $\left(2 x+\frac{y}{1+x^2 y^2}\right) \mathrm{d} x+\frac{x}{1+x^2 y^2} \mathrm{~d} y=0$ 的通解为

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【36951】 【 《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套】 填空题 椭球面 $S: x^2+2 y^2+z^2=k$（常数 $k>0$ ）外侧的一组法向量为

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【36950】 【 《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套】 填空题 设区域 $D$ 由闭曲线 $|x|+|y|=1$ 围成，则 $\iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$

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【36949】 【 《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套】 单选题 下列命题中，正确的命题个数为 （1）设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ ； （2）设 $f(x)=x-\sin x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 绝对收敛； （3）如果 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有任意阶导数，则对 $x, x_0 \in(a, b)$ 有： $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n . $$

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【36948】 【 《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套】 单选题 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的收敛半径 $R$ 为 ．

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【36947】 【 《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套】 单选题 若对 $\mathbf{R}^2$ 上的任何逐段光滑闭曲线 $L$ ，都有 $\oint_L\left(y \mathrm{e}^{x y}+x y\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{x y}-\right. \left.\lambda x^2\right) \mathrm{d} y=0$ ，则有

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【36946】 【 《高等数学下期末考试试卷》第二学期第四套】 单选题 设三重积分 $\iiint_{\substack{0 \leqslant r \leqslant 1 \\ 0 \leqslant y \leqslant 1 \\ 0 \leqslant \leqslant 1}} x y z^2 \mathrm{e}^{x y z} \mathrm{~d} V=I_1, \iiint_{\substack{0 \leqslant \leqslant \leqslant 1 \\ 0 \leqslant \leqslant 1 \\-1 \leqslant \leqslant \leqslant 0}} x y z^2 \mathrm{e}^{x y z} \mathrm{~d} V=I_2$ ，则 $(\quad)$ ．

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