【37006】 【 《复数》训练(共轭复数、四则运算、复数相等)】 单选题 $\frac{2-\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}=$

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【37005】 【 《复数》训练(共轭复数、四则运算、复数相等)】 单选题 $(2+2 \mathrm{i})(1-2 \mathrm{i})=(\quad)$

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【37004】 【 2026年1月北京大学第一学期《高等数学A上》试题与解答(取自MathHub)】 解答题 设定义域为 $\mathbb{R}^2$ 、值域为区间 $I$ 的二元函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数且处处 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \neq 0$ 。证明：对任意实数 $C \in I$ ，曲线 $f(x, y)=C$ 为直线的充分必要条件是 $$ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2 \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0 . $$

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【37003】 【 2026年1月北京大学第一学期《高等数学A上》试题与解答(取自MathHub)】 解答题 设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(x, y)=1-x-y+o\left(\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right),(x, y) \rightarrow (1,0)$ ，记 $g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{x y}, x^2+y^2\right)$ 。请证明：$g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处取到极值，计算这个极值并判断是极大值还是极小值。

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【37002】 【 2026年1月北京大学第一学期《高等数学A上》试题与解答(取自MathHub)】 解答题 设 $D=(0,+\infty) \times(-\infty,+\infty)$ 。 （1）若定义在 $D$ 上的二元函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D$ 。证明：$u(x, y)=f(x)+g(y),(x, y) \in D$ ，其中 $f(x), g(y)$ 是二阶连续可导的函数； （2）若定义在区域 $D$ 上的二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足 $u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}= \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y},(x, y) \in D$ 。验证 $z=\ln u(x, y)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D ;$ （3）设二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足 $$ \begin{cases}u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}, & (x, y) \in D, \\ u(x, 0)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, & x \in(0,+\infty) ; \\ u(1, y)=\mathrm{e}^{-\frac{1+y^2}{2}}, & y \in(-\infty,+\infty) .\end{cases} $$ 试给出 $u(x, y)$ 的表达式。

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【37001】 【 2026年1月北京大学第一学期《高等数学A上》试题与解答(取自MathHub)】 解答题 设二元函数 $f(x, y)$ 有连续偏导数，$f(1,2)=0,\left.\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\right|_{(1,2)}=5$ ，且对任意实数 $t$ 都满足 $f(t x, t y)=t^2 f(x, y)$ 。 （1）计算 $\left.\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\right|_{(1,2)}$ ； （2）计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_0^x\left\{1+f\left(2 t-2 \sin t+1, \sqrt[3]{1+t^3}+1\right)\right\}^{\frac{1}{\ln \left(1+t^3\right)}} \mathrm{d} t$ 。

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【37000】 【 2026年1月北京大学第一学期《高等数学A上》试题与解答(取自MathHub)】 解答题 解答下列各题： （1）写出 $f(x)=\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶带佩亚诺（Peano）余项的泰勒公式； （2）计算极限 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\left[2(1+x)^{\frac{1}{x}}+\mathrm{e}(x-2)\right]$ 。

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【36999】 【 2026年1月北京大学第一学期《高等数学A上》试题与解答(取自MathHub)】 解答题 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[2,4]$ 上连续，在开区间 $(2,4)$ 上可导且导数大于 0 ，极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(2 x-2)}{x-2}$ 存在。证明： （1）$f(x)$ 在 $(2,4)$ 上取值大于 0 ； （2）存在 $\xi \in(2,4)$ ，使得 $\frac{6 f(\xi)}{\xi}=\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x$ ； （3）对上述 $\xi \in(2,4)$ ，存在 $\eta \in(2,4), \eta \neq \xi$ ，使得 $6 f^{\prime}(\eta)=\frac{\xi}{\xi-2} \int_2^4 f(x) \mathrm{d} x$ 。

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【36998】 【 2026年1月北京大学第一学期《高等数学A上》试题与解答(取自MathHub)】 解答题 设三维空间中四点 $A, B, C, D$ 所形成的三个向量 $\overrightarrow{A B}=(2, a, 0), \overrightarrow{A C}= (0,-1,2), \overrightarrow{A D}=(2, b, 1)$ ，其中 $a>0, b<\frac{1}{2}$ 。已知 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ 作为相邻两边所成的平行四边形的面积为 $2 \sqrt{6}, \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}$ 作为共顶点三条棱所成的平行六面体的体积为 2 。 （1）求 $a, b$ 的值； （2）求平行于向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$ 且过点 $(2,3,4)$ 的平面的方程； （3）求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2+x y z$ 在点 $(1,2,1)$ 的梯度以及在该点沿 $\overrightarrow{A B}$ 方向的方向导数。

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【36997】 【 2025-2026 深圳市罗湖区初三年级1月份期末考试试卷】 解答题 【问题情境】：已知在四边形 $A B C D$ 中，$\angle D=90^{\circ}, A C$ 是对角线，且 $A B=A C$ ， 【数学思考】：（1）如图 1，当 $A D=C D=2, \angle A C B=45^{\circ}$ 时，$A B=$ $\_\_\_\_$ ； $\angle D A B=$ $\_\_\_\_$ ${ }^{\circ}$ ； 【探究实践】：（2）如图 2 ，当 $A D<C D$ 时，将 $\triangle A D C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转至 $A C$ 与 $A B$ 重合，得到 $\triangle A E B, D$ 的对应点为 $E$ ，连接 $D E$ 并延长交 $B C$ 于点 $F$ ． （1）试说明 $\triangle A B C \backsim \triangle A D E$ ； （2）求证：$B F=C F$ ； 【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图 3，若 $A C=2 \sqrt{3}, B C=C D=2 \sqrt{2}$ ，求 $D F$ 的长。 [img=/uploads/2026-02/e36d59.jpg,width=550px][/img]

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