设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[2,4]$ 上连续，在开区间 $(2,4)$ 上可导且导数大于 0 ，极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(2 x-2)}{x-2}$ 存在。证明：
（1）$f(x)$ 在 $(2,4)$ 上取值大于 0 ；
（2）存在 $\xi \in(2,4)$ ，使得 $\frac{6 f(\xi)}{\xi}=\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x$ ；
（3）对上述 $\xi \in(2,4)$ ，存在 $\eta \in(2,4), \eta \neq \xi$ ，使得 $6 f^{\prime}(\eta)=\frac{\xi}{\xi-2} \int_2^4 f(x) \mathrm{d} x$ 。