下列命题中，正确的命题个数为
（1）设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ ；
（2）设 $f(x)=x-\sin x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 绝对收敛；
（3）如果 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有任意阶导数，则对 $x, x_0 \in(a, b)$ 有：
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n .
$$