【38046】 【 数列中的新定义问题(下)】 多选题 如果有限数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_i=a_{n-i+1}(i=1,2, ..., n)$ ，则称其为＂对称数列＂，设 $\left\{b_n\right\}$ 是项数为 $2 k-1\left(k \in \mathrm{~N}^*\right)$ 的＂对称数列＂，其中 $b_k, b_{k+1}, ..., b_{2 k-1}$ 是首项为 50 ，公差为 -4 的等差数列，则（ ）

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【38045】 【 数列中的新定义问题(下)】 多选题 对于数列 $\left\{a_n\right\}$ ，把它连续两项 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的差记为 $b_n=a_{n+1}-a_n$ 得到一个新数列 $\left\{b_n\right\}$ ，称数列 $\left\{b_n\right\}$ 为原数列 $\left\{a_n\right\}$的一阶差数列．若 $c_n=b_{n+1}-b_n$ ，则数列 $\left\{c_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的二阶差数列，以此类推，可得数列 $\left\{a_n\right\}$ 的 $p$ 阶差数列．如果某数列的 $p$ 阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为 $p$ 阶等差数列，如数列 $1,3,6,10$ ．它的前后两项之差组成新数列 2，3，4．新数列 2，3，4 的前后两项之差再组成新数列 1，1，1，新数列 1，1， 1为非零常数列，则数列 $1,3,6,10$ 称为二阶等差数列．已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2$ ，且 $S_n=\frac{1}{3} a_n(n+2)$ ，则下列结论中正确的有

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【38044】 【 数列中的新定义问题(下)】 单选题 数列 $\left\{F_n\right\}$ 满足 $F_1=F_2=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，现求得 $\left\{F_n\right\}$ 的通项公式为 $F_n=A \cdot\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+B \cdot\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ ， $A, B \in \mathbf{R}$ ，若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^8\right]$ 的值为

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【38043】 【 数列中的新定义问题(下)】 单选题 定义 $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c$ ，已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，且 $a_3=1,\left|\begin{array}{cc}a_6 & 8 \\ 8 & a_8\end{array}\right|=0$ ，则 $a_7=$

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【38042】 【 数列中的新定义问题(下)】 解答题 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次＂和扩充＂．如数列1，2第 1 次＂和扩充＂后得到数列1，3，2，第 2 次＂和扩充＂后得到数列 1，4，3，5，2．设数列 $a, b, c$ 经过第 $n$ 次＂和扩充＂后所得数列的项数记为 $P_n$ ，所有项的和记为 $S_n$ ． （1）若 $a=1, b=2, c=3$ ，求 $P_2, S_2$ ； （2）设满足 $P_n \geq 2023$ 的 $n$ 的最小值为 $n_0$ ，求 $n_0$ 及 $S^{-} \frac{n_0}{3}$ 。（其中 $[x]$ 是指不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]=1$ ， $[-2.6]=-3) ;$

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【38041】 【 数列中的新定义问题(下)】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_n=2^n+1$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）保持 $\left\{a_n\right\}$ 中各项先后顺序不变，在 $a_k$ 与 $a_{k+1}$ 之间插入 $k$ 个 1 ，使它们和原数列的项构成一个新的数列 $\left\{b_n\right\}$ ，记 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求 $T_{100}$ 的值（用数字作答）．

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【38040】 【 数列中的新定义问题(下)】 解答题 如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 对任意的 $n \in \mathrm{~N}^*, a_{n+2}-a_{n+1}>a_{n+1}-a_n$ ，则称 $\left\{a_n\right\}$ 为＂速增数列＂． （1）请写出一个速增数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式，并证明你写出的数列符合要求； （2）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂速增数列＂，且任意项 $a_n \in \mathrm{Z}, a_1=1, a_2=3, a_k=2023$ ，求正整数 $k$ 的最大值．

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【38039】 【 数列中的新定义问题(下)】 解答题 在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，若 $a_{n+1}-a_1 a_2 a_3 \cdots a_n=d\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂泛等差数列＂，常数 $d$ 称为＂泛差＂．已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是一个＂泛等差数列＂，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n-b_n$ ． （1）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的＂泛差＂$d=1$ ，且 $a_1, a_2, a_3$ 成等差数列，求 $a_1$ ； （2）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的＂泛差＂$d=-1$ ，且 $a_1=\frac{1}{2}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项 $b_n$ ．

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【38038】 【 数列中的新定义问题(下)】 填空题 对于数列 $\left\{a_n\right\}$ ，如果 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 为等差数列，则称原数列 $\left\{a_n\right\}$ 为二阶等差数列，一般地，如果 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 为 $K$ 阶等差数列，就称原数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $K+1$ 阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前 7 项分别为 $1,4,10,20$ ， $35,56,84$ ，则该数列的第 8 项为

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【38037】 【 数列中的新定义问题(下)】 填空题 定义：对于数列 $\left\{a_n\right\}$ ，如果存在常数 $p$ ，使得对于任意 $n \in \mathrm{~N}^*$ ，都有 $\left(a_{n+1}-p\right)\left(a_n-p\right)<0$ ，成立，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$p$－摆动数列＂，$p$ 称为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的摆动值．若 $a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n+q^n(q>0)$ ，且数列 $\left\{a_n\right\}$ 的摆动值为 0 ，则 $q$ 的取值范围为

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